¿Cuál es el equivalente cuántico del caos en un sistema clásico? (si hay alguno)

Estrictamente hablando, no hay caos cuántico. La evolución temporal es unitaria, lo que implica que los pequeños cambios de estado no aumentan de tamaño. Así, la dependencia sensible de las condiciones iniciales, el requisito previo para el caos en la mecánica clásica, está ausente en la mecánica cuántica. Aún más fuerte, en sistemas cuánticos discretos con un espacio de Hilbert de dimensión finita (el caso estudiado exclusivamente en la teoría de la información cuántica), la dinámica es estrictamente cuasiperiódica.

Por otro lado, existe un tema llamado caos cuántico. Sin embargo, no describe cómo un sistema cuántico es caótico, sino cómo reconocer si un sistema cuántico se volvería caótico en el límite clásico. (La mayoría de los estudios son solo numéricos, con muy poco apoyo teórico). Este tipo de investigación puede ser interesante en sí mismo, pero tiene muy poca relevancia para la física, ya que el límite clásico no es realmente relevante para los sistemas que necesitan una descripción cuántica.

El artículo http://mathnt.mat.jhu.edu/zelditch/Preprints/QEM4.pdf de Steve Zelditch examina los resultados teóricos sobre un análogo cuántico de la ergodicidad clásica, nuevamente relacionado con la cuestión de si el límite clásico produce un sistema ergódico.

El Problema abierto 4 en la página 12 define una clase particular de sistemas cuánticos como "cuánticamente ergódica única" si el promedio de tiempo y el promedio espacial difieren en un operador compacto, mientras que la ergodicidad clásica requiere que sean iguales. Pero la última propiedad es crucial para justificar la mecánica estadística, donde macroscópicamente, uno debe promediar a lo largo del tiempo, para que el sistema parezca homogéneo.

Por lo tanto, las propiedades ergódicas y de mezcla clásicas son físicamente relevantes, ya que ayudan a explicar por qué funciona la mecánica estadística clásica. Pero la ergodicidad cuántica no presta el mismo servicio a la mecánica estadística cuántica.

Hay una línea de investigación diferente, más abstracta, que reformula la ergodicidad en lenguaje de operadores, que tiene un análogo cuántico físicamente significativo incluso lejos del régimen clásico, aunque sin relevancia dinámica directa. Esto se presenta, por ejemplo, en el tratado ''Métodos de la física matemática moderna'' de Reed y Simon, en las Secciones II.5 y VII.4 del Volumen I (con Notas interesantes p.62 y p.244) y la Sección XIII .12 del Volumen 4 (con Notas p.350ff).

En el caso clásico, uno puede escribir la dinámica en el espacio de fase$\Omega$formalmente en forma de operador considerando los operadores$A(t)$que mapea una función de espacio de fase$\psi(z)$a$\psi(z(t))$, dónde$z(t)$es el punto al que se llega desde$z$por la dinámica clásica en el intervalo de tiempo$[0,t]$. Este operador conserva la medida de Liouville y la positividad de$\psi$. Por lo tanto, tenemos un grupo de operadores de 1 parámetro, por lo tanto$A(t)=e^{-tH}$para algún generador infinitesimal$H$aniquilando funciones constantes. Por lo tanto, 0 es un valor propio de$H$, y por la teoría de Perron-Frobenius, es el valor propio más pequeño. La dinámica es ergódica si y sólo si 0 es un valor propio simple. En efecto,$H\psi=0$si y si$U(t)\psi=\psi$para todos$t$si y si$\psi$es constante en las órbitas.

Esto es equivalente al requisito de que$\phi^* A(t)\psi>0$si$\phi,\psi$son distintos de cero y no negativos y$t$es suficientemente grande. Por lo tanto, uno puede (y, esencialmente, Reed / Simon lo hacen) llamar a un grupo de 1 parámetro$A(t)$ergódico si se cumple esta propiedad.

Esto tiene una analogía en el caso cuántico (Reed/Simon, Teorema XIII.44). el lugar de$H$es tomado por el hamiltoniano, que ahora actúa solo en funciones espaciales de configuración, y para una gran clase de dichos hamiltonianos,$A(t)=e^{-tH}$(sin la costumbre$i$, es decir, correspondiente al ''tiempo imaginario''$t$) preserva la positividad. Prueban que la ergodicidad es equivalente a la unicidad del estado fundamental.

Tenga en cuenta que, clásicamente, la falta de ergodicidad a menudo se muestra en la existencia de una variable conservada adicional más allá de las funciones de la energía. Esto se extiende al caso cuántico en el que la existencia de tal simetría adicional invalida el conjunto canónico como el único conjunto de equilibrio. Para tener equilibrio, esta cantidad conservada adicional también debe tener un valor fijo.

Estos resultados también son relevantes para QFT constructivo en 2 dimensiones; ver el libro QFT de Glimm y Jaffe. También discuten las implicaciones de la falta de unicidad del estado fundamental. En la teoría cuántica de campos, el estado fundamental es el estado de vacío. Si el estado de vacío no es único, hay diferentes fases.

El análogo cuántico de la propiedad ergódica de un sistema clásico de muchas partículas es la unicidad del estado fundamental en el límite termodinámico.

Véase algún tratamiento riguroso de la mecánica estadística, por ejemplo, en uno de los volúmenes sobre física matemática de Reed y Simon.

Caos en Mecánica Clásica significa que un sistema es extremadamente sensible a las condiciones iniciales. Hay muchas formas diferentes en las que un sistema puede evolucionar y sería exactamente reversible en el tiempo después de ejecutarlo todo el tiempo que desee.

En la mecánica cuántica, que yo sepa, no puede ser reversible en el tiempo. La mecánica cuántica describe todos los estados posibles en los que puede estar un sistema cuántico dependiendo del potencial con el que comience. Si el potencial con el que comienza es su condición "inicial", entonces obtendrá diferentes estados posibles en los que puede estar su sistema cuántico. Tiene razón, en QM, ¡no está muy claro qué significaría caos!

No he estudiado en profundidad la Mecánica Cuántica dependiente del tiempo, te lo advierto, pero por lo que sé, si permitieras que una función de onda se quedara allí y no interactuara con nada, entonces se quedaría igual. ¡para siempre!

Depende de lo que esté modelando y de los potenciales que esté considerando. En la vida real, sabemos, por supuesto, que la función de onda definitivamente interactuará con algún potencial y su función de onda se alterará constantemente y cuando tratas de averiguar algo sobre el sistema cuántico, también lo estás alterando.

En Classical Chaos, algún sistema puede alterarse tanto que puede ser extremadamente radical a su condición inicial, ¡pero lo que se conserva es que es reversible en el tiempo! Echando un vistazo a un sistema cuántico, también puede alterarse tanto que también lo haría extremadamente radical a su estado inicial. Aunque puedes hacer que un sistema cuántico vuelva al mismo estado, no es lo mismo que la reversibilidad del tiempo. En conclusión, no creo que la definición de Caos se pueda aplicar a QM, creo que está reservada a la Mecánica Clásica.