¿Cuál es el campo eléctrico generado por un imán giratorio?

Question

¿Cuál es el campo eléctrico generado por un imán giratorio?

Andrés

Considere un cilindro de material permanentemente magnetizado, con magnetización uniforme apuntando a lo largo del eje de simetría cilíndrico (el $z$ -dirección). El imán gira alrededor de su eje de simetría cilíndrico con velocidad angular $\omega$ . ¿Qué campo eléctrico genera el imán giratorio?

Trasfondo: Los imanes permanentes en movimiento generalmente generan un campo eléctrico, incluso en los casos en que $d\vec{M}/d t = 0$ . En el caso de un movimiento uniforme, este campo eléctrico es sencillo de determinar utilizando un impulso de Lorentz. Me interesan los casos en los que el impulso simple de Lorentz no funciona.

EDITAR:
Según lo percibido por algunas de las respuestas, no estoy específicamente interesado en un cilindro. Si su solución es para un anillo, una esfera o prácticamente cualquier objeto cilíndrico simétrico no trivial que gira alrededor de su eje de simetría cilíndrica, estoy interesado, siempre que $d\vec{M}/d t = 0$ .

Landau y Lifshitz describen un caso similar e interesante en el que el imán giratorio también es un conductor. Estoy interesado en el caso en que el objeto giratorio no sea un conductor.

La inducción unipolar es muy interesante, pero nuevamente, involucra un conductor rotatorio, sobre el cual no estoy preguntando.

genero

Si tengo tiempo más tarde, puedo desarrollar esto completamente, pero mientras tanto: en el calibre de Lorentz puede determinar el propagador (ya que el vector potencial satisface un d'Alembertiano). Para cualquier fuente dada, esto se puede usar para encontrar la solución. Para este caso particular, la intuición dice que a distancias alejadas del imán mismo, la contribución dominante será dipolar --- así que simplemente obtendrás un campo dipolar magnético giratorio (trátalo como una superposición lineal de dos oscilantes). Ver: en.wikipedia.org/wiki/Dipole#Dipole_radiation

Jorge

¡Estás usando la "simetría" de manera incorrecta! Incluso los ejes x e y, respectivamente, son ejes de simetría de ese cilindro.

Andrés

@Georg Cambié 'eje de simetría' a 'eje de simetría cilíndrico'.

Jorge

Borraré mi respuesta, porque cambiaste la pregunta sustancialmente. Por cierto, un voltaje debido a la inducción nunca depende de algún objeto conductor. El voltaje siempre está ahí, pero no tendrá una corriente para medir.

Andrés

@Georg ¿A qué cambio te refieres? ¿Especificar un objeto no conductor?

usuario100712

¿Alguien puede hacer un dibujo sobre esto?

Respuestas (8)

¿Cuál es el campo eléctrico generado por un imán giratorio?

Si tengo tiempo más tarde, puedo desarrollar esto completamente, pero mientras tanto: en el calibre de Lorentz puede determinar el propagador (ya que el vector potencial satisface un d'Alembertiano). Para cualquier fuente dada, esto se puede usar para encontrar la solución. Para este caso particular, la intuición dice que a distancias alejadas del imán mismo, la contribución dominante será dipolar --- así que simplemente obtendrás un campo dipolar magnético giratorio (trátalo como una superposición lineal de dos oscilantes). Ver: en.wikipedia.org/wiki/Dipole#Dipole_radiation
¡Estás usando la "simetría" de manera incorrecta! Incluso los ejes x e y, respectivamente, son ejes de simetría de ese cilindro.
@Georg Cambié 'eje de simetría' a 'eje de simetría cilíndrico'.
Borraré mi respuesta, porque cambiaste la pregunta sustancialmente. Por cierto, un voltaje debido a la inducción nunca depende de algún objeto conductor. El voltaje siempre está ahí, pero no tendrá una corriente para medir.
@Georg ¿A qué cambio te refieres? ¿Especificar un objeto no conductor?

usuario4552 · Answer 1

El campo eléctrico es distinto de cero. Para un cilindro de longitud finita, no se desvanece en todas partes. En el caso límite de un cilindro infinitamente largo, el campo solo no se anula dentro del cilindro.

La forma más sencilla de resolver esto es utilizar el hecho de que las polarizaciones eléctricas y magnéticas $(-\textbf{P},\textbf{M})$ transforma exactamente de la misma manera que los campos $(\textbf{E},\textbf{B})$ (Hnizdo 2011). Tomando el límite de baja velocidad por conveniencia, tenemos $\textbf{P}=\textbf{v}\times\textbf{M}$ . Esto produce una polarización radial con magnitud $P=\omega r M$ , correspondiente a una densidad de carga interior constante más una carga superficial de signo opuesto. (Esto concuerda con la respuesta de Kostya.) El campo interior claramente no se desvanece. Aplicando la ley de Gauss en el límite de un cilindro infinitamente largo, se encuentra que el campo exterior se desvanece.

Hnizdo y McDonald, "Campos y momentos de un dipolo eléctrico en movimiento", 2011, http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/movingdipole.pdf

Kostya · Answer 2

En el caso de un cilindro infinito, la respuesta correcta es 0. No hay campo fuera del cilindro giratorio.

Era obvio desde el principio de la ley de Gauss. Pero me enamoré de "hacerlo de una manera difícil". De todos modos, establecí todos los detalles del problema, así que permítanme presentarles mi solución:
1. Obtener el potencial interno.
Dentro del objeto giratorio tenemos la fuerza de Lorentz que actúa sobre las cargas (libres o ligadas) dentro del medio. Las cargas se redistribuyen produciendo el campo eléctrico que compensa la fuerza. La energía potencial electrostática, producida por la distribución de carga $\rho(r)$ debe ser igual al trabajo mecánico contra las fuerzas de Lorentz:

F_{r} (r) = ρ (r) \frac{B ω r}{C} \Rightarrow tu (r) = ρ (r) \frac{B ω r^{2}}{2 C} = ρ (r) ϕ (r)

$F_r(r) = \rho(r)\frac{B\omega r}{c}\quad\Rightarrow\quad U(r)=\rho(r)\frac{B\omega r^2}{2c}=\rho(r)\,\phi(r)$ Así, conseguir la

ϕ (r) = \frac{B ω r^{2}}{2 c}

$\phi(r) = \frac{B\omega r^2}{2c}$ dentro del cilindro. Permítanme enfatizar que

ρ (r)

$\rho(r)$ puede ser la densidad de cargas ligadas, cargas libres o densidad combinada. El resultado no depende de la naturaleza de estos cargos.

2. Obtención de la distribución de carga.
Primero obtengamos la densidad de carga dentro del cilindro. Por esto simplemente sustituiré $\phi(r)$ en la ecuación de Poisson:

Δ ϕ (r) = - 4 π ρ (r) \Rightarrow ρ (r) = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial}{\partial r} \frac{B ω r^{2}}{2 C}) = - \frac{B ω}{2 π C}

$\Delta\phi(r) = -4\pi\rho(r)\quad\Rightarrow\quad \rho(r)=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}\frac{B\omega r^2}{2c}\right) = -\frac{B\omega}{2\pi c}$ dentro del cilindro

ρ

$\rho$ es constante, produciendo un campo de crecimiento lineal.

También hay cargas superficiales $\sigma$ , responsable de la discontinuidad en el campo eléctrico. Estos se obtienen de la electroneutralidad.

2 π R σ = - π R^{2} ρ \Rightarrow σ = \frac{B ω R}{4 π C}

$2\pi R\sigma = -\pi R^2\rho \quad\Rightarrow\quad \sigma = \frac{B\omega R}{4\pi c}$

3. Resolviendo para el potencial exterior.
Ahora tenemos que resolver la ecuación de Laplace fuera del cilindro. La solución general es:

Δ ϕ = 0 \Rightarrow ϕ (r) = A + B Iniciar sesión r

$\Delta\phi = 0 \quad\Rightarrow\quad \phi(r)=A+B\log r$ Hay dos condiciones de contorno que satisfacer: la primera es la continuidad del potencial

ϕ (R) = \frac{B ω R^{2}}{2 C}

$\phi(R) = \frac{B\omega R^2}{2c}$ y el segundo es la discontinuidad en el campo:

- ϕ^{'} (R + 0) + ϕ^{'} (R - 0) = 4 π σ

$-\phi'(R+0) + \phi'(R-0) = 4\pi\sigma$ Obtención:

A = \frac{B ω R^{2}}{2 C} y B = 0

$A = \frac{B\omega R^2}{2c} \quad \text{and}\quad B = 0$ Entonces el potencial es constante fuera del cilindro. Sin campo

+1 para L&L! Sin embargo, me interesa el caso en que el objeto giratorio no sea un conductor. He editado la pregunta para aclarar esto.
En cuanto a la afirmación 'Si no hay cargas libres, entonces se puede obtener el mismo resultado considerando las cargas ligadas y las fuerzas que actúan sobre ellas'. En este caso, ¿la respuesta no dependería de la polarizabilidad del objeto giratorio?
¡Agradezco que hayas vuelto al tema! También aprecio el argumento claro y formal. Dada su respuesta a esta pregunta, ¿está de acuerdo con la respuesta a esta pregunta , que describe un imán recto infinitamente largo que se mueve a una velocidad constante? Si es así, imagine el caso en el que el imán largo y recto (y su trayectoria) está ligeramente curvado. Dado que esta curva eventualmente se cerrará sobre sí misma, formando un objeto giratorio, ¿se desvanece el campo en este caso?
No comenzaré la discusión en los comentarios. Eso no es constructivo. Haz otra pregunta.
Tenga en cuenta que esto es para un cilindro infinito. Un cilindro finito producirá un campo eléctrico fuera del cilindro aunque dM/dt = 0.
No hay campo fuera del cilindro giratorio. Entonces, la respuesta de @Bossavit es absolutamente correcta. Aférrate. Tu respuesta correcta muestra que el campo es cero fuera del cilindro, pero distinto de cero dentro. Eso contradice el argumento incorrecto de Bossavit de que el campo se desvanece en todas partes.
Hm, @BenCrowell, formalmente tienes razón, pero si uno habla solo sobre el campo fuera del cilindro, entonces el argumento de "simetría/ley de Gauss" de Bossavit se mantiene. Así que todo depende del contexto y yo no entraría en esa sutileza...
@Kostya: ¿Eh? No, el argumento de Bossavit es simplemente completamente erróneo. Y como ha señalado Edward, el campo externo es distinto de cero para un cilindro finito.

jaspe3 · Answer 3

La rotación del campo magnético dipolar de la Tierra produce un campo eléctrico en el espacio.

Como el campo eléctrico es cero en el marco giratorio, es igual a

mi = - (ω \times r) \times B

$\mathbf E=-(\omega\times \mathbf r)\times \mathbf B$ en un marco fijo, donde

ω

$\omega$ es la velocidad angular de la Tierra,

r

$\mathbf r$ la distancia radial y

B

$\mathbf B$ el campo magnético Esta formulación, dada por Hannes Alfven en 1950, es válida en el vacío. En el caso de la Tierra,

E

$\mathbf E$ es el campo eléctrico de corotación, dirigido radialmente a la Tierra. Se puede encontrar una discusión de la formulación en "The External Electric Field of a Rotating Magnet", de G. Backus, Astrophysical Journal, vol 23, p508, 1956. (Enlace ADS)

Eduardo · Answer 4

No estoy de acuerdo con la afirmación "curlE=0 ... divE=0. Esto es suficiente para hacer E=0". Consideremos, por ejemplo, un dipolo eléctrico. Fuera del dipolo, curlE=0 y divE=0, pero E no es igual a 0.

También creo que las consideraciones de distribución de carga son demasiado limitadas. Porque intuitivamente espero que aparezca la polarización, pero no las cargas gratuitas.

Aquí hay un ejemplo concreto simple que muestra que la constante M aún puede tener un campo eléctrico:

Un cilindro infinito, carga neutra, M constante. En el marco de reposo, exterior: E=0,B=0, e interior: E=0,B=const. Ahora aumente al cuadro moviéndose a lo largo del eje, afuera: E=0,B=0, y adentro B=const, E!=0.

Ahora considere un cilindro de longitud L y radio a, y conviértalo en un bonito anillo simétrico (por lo que el radio 'exterior' = L/2 pi y el radio 'interior' = a). Dentro del ring, en el límite $a<<L$ , necesitamos recuperar el caso del cilindro infinito. Entonces sí, un anillo giratorio tendrá un campo eléctrico distinto de cero. Además, intuitivamente, antes del límite infinito, el anillo también tendrá un campo eléctrico fuera de él.

EDITAR (una vez más) Necesito pensarlo, pero esto probablemente se pueda hacer riguroso como tal: en el caso del cilindro infinito, debería ser posible ver cómo M en un cuadro cambia a M y P en otro cuadro. Puede haber una forma sencilla de utilizar la simetría de la relatividad para explicar cómo se mezclan.

E tiene que ser simétrico con respecto al eje en este ejemplo, pero no para un dipolo.
@John Un dipolo es simétrico con respecto al eje como un cilindro. El dipolo en realidad tiene la misma simetría que un cilindro finito.

Bossavit · Answer 5

El campo eléctrico es nulo: debido a la simetría rotacional asumida allí, la inducción magnética $B$ es constante en el tiempo, por lo que $\nabla\times\,E = 0$ por la ley de Faraday. Por otro lado, no hay carga eléctrica, por lo que $\nabla\cdot E = 0$ . Esto es suficiente para hacer $E = 0$ .

Los imanes permanentes en movimiento generan un campo eléctrico, "incluso en los casos en que $\frac{dM}{dt}=0$ ", pero el $M$ allí se refiere a un marco vinculado con el imán. La inducción resultante $B$ , referido al marco del laboratorio, cambia con el tiempo, por lo tanto, un valor distinto de cero $\frac{dB}{dt}$ , y distinto de cero $\nabla\times\,E$ .

Uno puede objetar que, en el caso de la pregunta, el marco del imán también se está moviendo, por lo que debería resultar una B cambiante. Lo que marca la diferencia es la simetría rotacional: el campo generado por un imán axisimétrico giratorio es independiente de su velocidad de rotación, porque cualquier punto dado del laboratorio "ve" siempre la misma magnetización, por lo tanto, también la misma inducción. Asi que $\frac{dB}{dt} = 0$ .

"La inducción B resultante, referida al marco del laboratorio, cambia con el tiempo". ¿Puede ampliar esta afirmación? Específicamente, ¿puede describir una situación de estado estacionario en la que un imán permanente se mueve, $d\vec{M}/dt = 0$ , y $d\vec{B}/dt$ es distinto de cero?
B es un campo vectorial en mi respuesta. También lo es M. Ambos se expresan en coordenadas de laboratorio. Si es así, M varía con el tiempo, aunque el momento magnético M que usa (un vector, no un campo vectorial ) es constante en el tiempo. Es esencial distinguir la magnetización (un campo vectorial) y el momento magnético (la integral de este último).
Edité su respuesta para eliminar mi voto negativo, ya que tiene toda la razón.
Tenga en cuenta también que el efecto del imán que gira con un bucle coaxial de alambre es diferente al del bucle coaxial de alambre que gira con el imán.
Esta respuesta es incorrecta y contradice la respuesta correcta de Kostya, que mostró que el campo no desapareció dentro del cilindro. El mismo argumento aplicado a esta physics.stackexchange.com/questions/6457/… pregunta más simple también contradiría la respuesta correcta de Lubos Motl a esa. Por otro lado, no hay carga eléctrica . Este es el error. Un material polarizado magnéticamente en movimiento también tiene una polarización eléctrica.

usuario32133 · Answer 6

El imán giratorio debe crear un $E$ campo análogo al $B$ campo de una corriente eléctrica. Entiendo el escepticismo y el problema de la "fuente", pero un imán giratorio es como una colección de imanes separados que giran en círculos perpendiculares a sus longitudes. Si te moviste en relación con el polo de un imán, eso es $\vec v \times B$ y encontrarás $E$ en el cuadro en movimiento. No importa cuál sea la fuente, $B$ es $B$ al observador que se mueve a través de él. Sí, es extraño ya que no tenemos auténtico. $\rho$ o $J$ para servir como fuentes (los átomos magnéticos no son realmente bucles de corriente que puedan mostrar la densidad de carga redistribuida por efectos SRT, y no hay $dA/dt$ en una situación constante) pero el $E$ el campo debe estar allí. Sorprendente esto no es física resuelta. Puede significar que debemos reevaluar las ecuaciones de abastecimiento. Vea mi publicación en http://tyrannogenius.blogspot.com/2013/11/because-of-relative-motion-of-sources.html .

Considere otro ejemplo de implicaciones similares: una fila "infinita" (o muy larga) de imanes de barra de lado a lado. Las filas de polos N o S producirán un campo B como una larga cadena de carga produciría un campo E. Si te mueves con respecto a esa B, debe haber una E en tu RF. De nuevo, no hay densidad de carga neta genuina ni dA/dt.

usuario1726 · Answer 7

Parecería que este problema podría volver a expresarse de una manera que aclare intuitivamente la forma de la respuesta.

Considere un cilindro orientado verticalmente. Su superficie superior (en forma de disco) está recubierta con una fina capa de monopolos magnéticos "Norte". Su superficie inferior está recubierta de manera similar con monopolos magnéticos "Sur". El giro del cilindro a lo largo de su eje vertical crea anillos de corriente magnética debido a las trayectorias circulares resultantes trazadas por los monopolos magnéticos.

Estas corrientes magnéticas aparecen en la ecuación de Maxwell correspondiente a la Ley de Faraday de manera exactamente análoga a la aparición de corrientes eléctricas en la ecuación de Maxwell correspondiente a la Ley de Ampere. [Este término en la ecuación de la Ley de Faraday normalmente es cero, porque no hay monopolos magnéticos, por lo tanto, no hay corrientes magnéticas].

Los anillos de corriente magnética producirán campos eléctricos toroidales (concentrados en los extremos del cilindro). Estos campos son análogos a los campos magnéticos toroidales producidos por anillos de corriente eléctrica.

La validez de esta respuesta (que E no es cero, sino una configuración toroidal en ambos extremos) depende de si un dipolo magnético formado a partir de la distribución de monopolos magnéticos antes mencionada es equivalente a su imán cilíndrico.

Curiosamente, aunque los monopolos magnéticos podrían usarse para crear un campo magnético idéntico al tuyo (cuyo campo resulta de las cargas eléctricas que circulan por los núcleos), las situaciones no son equivalentes. Solo hay dos formas de generar un campo eléctrico: cargas eléctricas o corrientes magnéticas. Girar el imán no genera espontáneamente carga eléctrica. Tampoco, en ausencia de mononoples, crea una corriente magnética.

Por cierto, la Ley de Gauss no implica que el campo eléctrico sea cero. Solo implica que la integral del campo eléctrico en una superficie que encierra el cilindro es cero. [Como señaló Edward, para un dipolo eléctrico esta integral es cero, pero el campo eléctrico en sí no lo es].

No se encuentran monopolos magnéticos y es probable que no existan. Entonces su argumento de una corriente magnética no tiene respaldo.

Helder Vélez · Answer 8

Helder Vélez

La Tierra está girando y tiene un campo magnético permanente. No exhibe un campo eléctrico correspondiente. La respuesta es 0.

El campo magnético se debe a la presencia de un movimiento relativo entre las cargas del interior de la Tierra (dipolo eléctrico) y el observador. Por lo tanto, es una cantidad derivada muy parecida a la fuerza de Coriolis. En lugar de decir campo magnético , creo que es más apropiado decir fuerza magnética .

por Hans de Vries: La derivación más simple y completa del magnetismo como un efecto secundario relativista de la electroestática. Utiliza solo el campo electrostático y la no simultaneidad para derivar el campo magnético.

Jorge

""La Tierra es un imán permanente giratorio"" Ajá, ¿cuál es el material ferromagnético con alto campo coercitivo en el núcleo?

Helder Vélez

Seguramente La Tierra es un imán permanente rotativo . Como dura varios miles de millones de años y nadie puede apagarlo, es un candidato serio para ser 'permanente'. WP de imán_permanente : modelo Ampère : "donde toda la magnetización se debe al efecto de corrientes microscópicas, o atómicas, circulares unidas, ... en todo el material". Al ser un material electromagnético o ferromagnético, el efecto resultante es el mismo y el origen del campo magnético es el mismo. ¿El documento de Vries no está bien?

Jorge

""Dura varios miles de millones de años"" ? Deberías leer wiki sobre el campo magnético terrestre. Dicen que cambia de polaridad cada 300 000 años. El resto de su comentario está debajo de cualquier comentario mío.

carl brannen

@Helder Vélez; Es posible que desee editar la afirmación de que la tierra es un imán permanente giratorio. Haga cualquier tipo de búsqueda bibliográfica y encontrará lo contrario. De hecho, se necesita una cantidad increíble de energía para mantener el campo temporal que vemos en su lugar.

Helder Vélez

@Carl @Georg ¿En cuál de las 3 palabras no te gusta? "imán permanente giratorio" un electroimán no es un imán? Permanente no se limita a los materiales ferromagnéticos. Se forman en la ya presencia del campo magnético de la Tierra, que existe desde : ".. solo 10 millones de años después de que la Tierra comenzó a formarse, ..estableciendo la formación del campo magnético de la Tierra ". Recibí votos negativos cada vez que mencioné el Vries doc. Es molesto porque nadie dice que tiene un error.

carl brannen

@Helder Vélez; En inglés, "imán permanente" implica un material que retiene su campo magnético sin la adición de ningún campo externo (o corriente). Esto no se aplica al núcleo de la tierra. Consulte en.wikipedia.org/wiki/Dynamo_theory "En realidad, una vez se creyó que el dipolo, que comprende gran parte del campo magnético de la Tierra y está desalineado a lo largo del eje de rotación en 11,3 grados, fue causado por la magnetización permanente de los materiales en la tierra ." Y soy un gran admirador de Hans de Vries y mencioné su artículo aquí: physics.stackexchange.com/questions/6817

Helder Vélez

permanente: Que dura o permanece sin cambios esenciales. (definido en thefreedictionary.com) Dije en mi respuesta: "El campo magnético se debe a la presencia de un movimiento relativo entre las cargas dentro de la Tierra (dipolo eléctrico) y el observador". Nunca dije algo diferente a ti.

Helder Vélez

Editaré mi respuesta para decir: un campo magnético permanente y omitiré la palabra imán. Nunca sugerí "magnetización permanente de los materiales en la tierra".

¿Cuál es el campo eléctrico generado por un imán giratorio?

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