¿Cuál es el ángulo de alabeo óptimo para lograr un giro dado en un planeo?

Question

¿Cuál es el ángulo de alabeo óptimo para lograr un giro dado en un planeo?

planeador
teoría
Aviación
emergencia
aerodinámica
tecnica-piloto

J walters

Para una aeronave en planeo, ¿cuál es el ángulo de alabeo óptimo, si lo hay, para hacer un giro dado mientras se maximiza la distancia de planeo y se mantiene la mejor velocidad de planeo publicada?

En otras palabras, a una velocidad aerodinámica constante, qué ángulo de alabeo producirá la mayor velocidad de giro con la menor pérdida de altitud. Suponga un viraje a velocidad aerodinámica constante que ya está establecido. No estoy preguntando qué ángulo de alabeo producirá la menor reducción en el componente vertical de sustentación.

Al imaginar este escenario, tengo en mente específicamente un avión de un solo motor que experimenta una falla del motor a baja altitud. Sin embargo, la teoría aerodinámica puede aplicarse a cualquier escenario de ala fija.

Editar: permítanme enfatizar que esta pregunta asume que el piloto mantiene la mejor velocidad de planeo nominal publicada de la aeronave durante todo el giro, sin ajustar la velocidad del aire a alguna velocidad de mejor planeo teórica variable. La velocidad del aire no debe ser una variable.

rbp

esta es una pregunta muy difícil porque muchos factores entran en juego.

J walters

@rbp Ciertamente, hay muchos factores que intervienen en la descripción del escenario, pero creo que la solución es probablemente bastante simple. Uno de mis instructores, que era un ex ingeniero de Boeing, solía decirme que la respuesta era 45°. Si eso es cierto, estoy buscando el por qué.

J walters

No creo que la respuesta dependa del avión. Tiene que ver con la activación del vector de sustentación y la tasa de pérdida de altitud del vicio de giro.

J walters

@rbd Punto válido en sí mismo, pero no creo que la relación de planeo se cruce con los problemas en juego en esta pregunta.

Jan Hudec

Teniendo en cuenta el último párrafo, esto podría ser un duplicado de Aviation.stackexchange.com/q/786/524 , ya que esa pregunta analiza el ángulo de alabeo y la velocidad a usar para el giro.

gato_curioso

¿Por qué la gente está tan ansiosa por cerrar preguntas sobre SE Aviation? Por ejemplo, esta es una excelente pregunta sin una respuesta obvia hasta donde puedo ver en SE Aviation o en Internet. Sin embargo, algún tipo feliz de gatillo quiere cerrarlo ya como un duplicado.

volante tranquilo

Obviamente, el OP es libre de restringir la pregunta como lo desee. Pero una vez que decidas que deseas viajar en una dirección diferente a la que vas actualmente, maximizar la distancia recorrida por altitud perdida no es necesariamente una consideración importante. Ciertamente no si va a girar 180 grados completos. En ese caso, la velocidad mínima de descenso podría ser más apropiada durante el giro. Sin embargo, la velocidad mínima de hundimiento, al igual que la velocidad máxima L/D, es una función del ángulo de alabeo . Así que permanecer en la velocidad L/D máxima al nivel de las alas podría no ser tan mala idea...

Respuestas (6)

¿Cuál es el ángulo de alabeo óptimo para lograr un giro dado en un planeo?

esta es una pregunta muy difícil porque muchos factores entran en juego.
@rbp Ciertamente, hay muchos factores que intervienen en la descripción del escenario, pero creo que la solución es probablemente bastante simple. Uno de mis instructores, que era un ex ingeniero de Boeing, solía decirme que la respuesta era 45°. Si eso es cierto, estoy buscando el por qué.
No creo que la respuesta dependa del avión. Tiene que ver con la activación del vector de sustentación y la tasa de pérdida de altitud del vicio de giro.
@rbd Punto válido en sí mismo, pero no creo que la relación de planeo se cruce con los problemas en juego en esta pregunta.
Teniendo en cuenta el último párrafo, esto podría ser un duplicado de Aviation.stackexchange.com/q/786/524 , ya que esa pregunta analiza el ángulo de alabeo y la velocidad a usar para el giro.
¿Por qué la gente está tan ansiosa por cerrar preguntas sobre SE Aviation? Por ejemplo, esta es una excelente pregunta sin una respuesta obvia hasta donde puedo ver en SE Aviation o en Internet. Sin embargo, algún tipo feliz de gatillo quiere cerrarlo ya como un duplicado.
Obviamente, el OP es libre de restringir la pregunta como lo desee. Pero una vez que decidas que deseas viajar en una dirección diferente a la que vas actualmente, maximizar la distancia recorrida por altitud perdida no es necesariamente una consideración importante. Ciertamente no si va a girar 180 grados completos. En ese caso, la velocidad mínima de descenso podría ser más apropiada durante el giro. Sin embargo, la velocidad mínima de hundimiento, al igual que la velocidad máxima L/D, es una función del ángulo de alabeo . Así que permanecer en la velocidad L/D máxima al nivel de las alas podría no ser tan mala idea...

Jan Hudec · Answer 1

El mejor ángulo de alabeo es de hecho 45°.

Se puede demostrar con relativa facilidad que eso da el giro más cerrado para un ángulo de ataque constante , donde asumimos que el ángulo de ataque constante también da como resultado un ángulo de descenso constante. Sería bastante difícil de mostrar para una velocidad constante, y es posible que ni siquiera sea exactamente cierto en ese caso.

Sin embargo, esto realmente no se puede separar de la mejor velocidad. Y la respuesta sorprendente es que la velocidad de pérdida (que es ~19% ( $\sqrt[4]{2}$ ) más alto que en vuelo recto) da la menor pérdida de altitud para virar dado número de grados.

La razón es que la resistencia (cerca de la velocidad de pérdida) es proporcional a $\frac{1}{v}$ , pero el radio de giro es proporcional a $v^2$ , por lo que a medida que reduce la velocidad, el radio disminuye más rápido que aumenta la resistencia (y, por lo tanto, la velocidad vertical).

Referencias:

"en la parte posterior de la curva de potencia"? Pensé que esto era un escenario de motor fuera
@rbp, "la parte posterior de la curva de potencia" está simplemente por debajo de la mejor velocidad de planeo, es decir, en el rango donde una velocidad más baja significa una mayor resistencia y si la potencia para superar esa resistencia proviene del motor o del descenso es secundario.
Se lo diré a mis amigos pilotos de planeadores. Creo que te refieres a "la parte trasera de la curva de elevación".
@rbp, de alguna manera, la "curva de elevación" tiene menos sentido, porque la trama es resistencia frente a velocidad, donde la resistencia puede expresarse como potencia (para aviones motorizados) o como velocidad vertical (para planeadores; porque la velocidad vertical (veces la gravedad) es potencia ).
@rbp El término "curva de potencia" se refiere al hecho de que la curva es un polinomio, es decir, Y es igual a X elevado a una potencia (o X negativo, multiplicado por X elevado a una potencia diferente, más una constante, etc.etc.etc .). No tiene nada que ver con la potencia del motor.
@hiddenwindshield está mal en varios niveles diferentes :) cuando se usa para describir una función genérica, "potencia" generalmente se refiere a un exponencial, no a un polinomio. La curva de D/L en función de la velocidad aerodinámica no es exponencial ni polinomial, y su nombre proviene de "potencia requerida para sustentar al mismo peso". Ese poder puede provenir de un motor o del gasto de energía potencial gravitacional o cualquier combinación.

Peter Kämpf · Answer 2

La pregunta formulada está abierta a interpretación, por lo que primero la reformularé para tener una base sobre la cual construir. Su último párrafo me dice que desea conocer el ángulo de alabeo óptimo para obtener la relación más alta entre la velocidad de giro y la pérdida de altitud en un planeo a una velocidad dada.

Spoiler: dado que los ángulos de alabeo más pronunciados requieren más sustentación, y las aeronaves con mejor L/D son más eficientes en la producción de sustentación, el ángulo de alabeo óptimo depende de las cualidades aerodinámicas de la aeronave.

lo que se da

Planeador o aeronave propulsada con motor inoperativo. El polar y el peso son conocidos y no cambian con el tiempo.
Velocidad aerodinámica. Esto dará como resultado un óptimo restringido: el mejor ángulo de alabeo absoluto requerirá una velocidad adecuada.

que se puede cambiar

ángulo de banco $\varphi$ (obviamente, estás pidiendo esto)
Elevar $L$ (Otra vez, obviamente. Quieres permanecer en el aire)

Solución

Primero necesito formular la relación entre la tasa de giro y la pérdida de altura. Luego, esto debe derivarse con respecto al ángulo de alabeo y establecerse en cero. Para tener un polar derivable, uso el polar cuadrático donde $c_D = c_{D0}\cdot\frac{c_L^2}{\pi\cdot AR\cdot\epsilon}$ .

Asumo además un giro coordinado, para que podamos definir las ecuaciones de sustentación y arrastre. El arrastre se compensa seleccionando un ángulo de trayectoria de planeo adecuado $\gamma$ para convertir el potencial en energía cinética para mantener la velocidad constante. la velocidad angular $\Omega$ en un giro con el radio $R$ es

Ω = \frac{v}{R} = \frac{gramo \cdot t a norte φ}{v} = \frac{gramo \cdot \sqrt{{norte}_{z}^{2} - 1}}{v}

$\Omega = \frac{v}{R} = \frac{g\cdot tan\varphi}{v} = \frac{g\cdot \sqrt{n_z^2-1}}{v}$ La pérdida de altura con el tiempo es la velocidad vertical

v_{z}

$v_z$ , y esto se puede calcular a partir de la velocidad

v

$v$ y ángulo de trayectoria de vuelo

γ

$\gamma$ :

v_{z} = v \cdot s i norte γ

$v_z = v\cdot sin\gamma$ Ya que

v

$v$ es dada y constante, podemos reformular el problema como una maximización de la velocidad de giro sobre el ángulo de la trayectoria de vuelo o la velocidad de descenso. Esto es equivalente a la pérdida de altura más pequeña para un cambio de acimut determinado.

\frac{Ω}{v_{z}} = \frac{gramo \cdot t a norte φ}{s i norte γ}

$\frac{\Omega}{v_z} = \frac{g\cdot tan\varphi}{sin\gamma}$

Antes de derivar esto, necesitamos expresar $\gamma$ en términos de $\varphi$ . Si tuviéramos la libertad de ajustar la velocidad, podríamos resolver directamente el ángulo de alabeo óptimo en L/D óptimo. Ahora, sin embargo, la velocidad es fija y L/D es lo que produce el avión en la sustentación requerida. Ya que para planeadores $sin\gamma = \frac{c_D}{c_L}$ , podemos escribir:

\frac{Ω}{v_{z}} = \frac{gramo \cdot t a norte φ \cdot C_{L}}{C_{D 0} + \frac{C_{L}^{2}}{π \cdot A R \cdot ϵ}} = \frac{gramo \cdot s i norte φ \cdot \frac{metro \cdot gramo}{q \cdot S}}{C_{D 0} \cdot C o s^{2} φ + \frac{{(\frac{metro \cdot gramo}{q \cdot S})}^{2}}{π \cdot A R \cdot ϵ}}

$\frac{\Omega}{v_z} = \frac{g\cdot tan\varphi\cdot c_L}{c_{D0}+\frac{c_L^2}{\pi\cdot AR\cdot\epsilon}} = \frac{g\cdot sin\varphi\cdot \frac{m\cdot g}{q\cdot S}}{c_{D0}\cdot cos^2\varphi + \frac{\left(\frac{m\cdot g}{q\cdot S}\right)^2}{\pi\cdot AR\cdot\epsilon}}$ con

c_{L} = \frac{m \cdot g}{q \cdot S \cdot c o s φ}

$c_L = \frac{m\cdot g}{q\cdot S\cdot cos\varphi}$ . Dado que la presión dinámica

q

$q$ es constante, ahora podemos derivar con respecto al ángulo de alabeo. Con la regla de la cadena obtenemos una fracción, y como se pondrá a cero, basta con buscar la condición cuando el numerador es cero:

gramo \cdot C o s φ \cdot \frac{metro \cdot gramo}{q \cdot S} \cdot (C_{D 0} \cdot C o s^{2} φ + \frac{{(\frac{metro \cdot gramo}{q \cdot S})}^{2}}{π \cdot A R \cdot ϵ}) = gramo \cdot s i norte φ \cdot \frac{metro \cdot gramo}{q \cdot S} \cdot 2 \cdot C_{D 0} \cdot s i norte φ \cdot C o s φ

$g\cdot cos\varphi\cdot \frac{m\cdot g}{q\cdot S}\cdot\left({c_{D0}\cdot cos^2\varphi + \frac{\left(\frac{m\cdot g}{q\cdot S}\right)^2}{\pi\cdot AR\cdot\epsilon}}\right) = g\cdot sin\varphi\cdot \frac{m\cdot g}{q\cdot S}\cdot 2\cdot c_{D0}\cdot sin\varphi\cdot cos\varphi$

\frac{{(\frac{metro \cdot gramo}{q \cdot S})}^{2}}{C_{D 0} \cdot π \cdot A R \cdot ϵ} = 2 \cdot s i {norte}^{2} φ - C o s^{2} φ = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} C o s 2 φ

$\frac{\left(\frac{m\cdot g}{q\cdot S}\right)^2}{c_{D0}\cdot\pi\cdot AR\cdot\epsilon} = 2\cdot sin^2\varphi - cos^2\varphi = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}cos2\varphi$

φ = \frac{1}{2} \cdot a r C C o s (\frac{1}{3} - \frac{2 \cdot {(\frac{metro \cdot gramo}{q \cdot S})}^{2}}{3 \cdot C_{D 0} \cdot π \cdot A R \cdot ϵ})

$\varphi = \frac{1}{2}\cdot arccos\left(\frac{1}{3} - \frac{2\cdot\left(\frac{m\cdot g}{q\cdot S}\right)^2}{3\cdot c_{D0}\cdot\pi\cdot AR\cdot\epsilon}\right)$ Obviamente, esto no se ve mal, pero muy bien podría haber metido la pata en el camino hacia el resultado. Si ingresa los números de un avión que conoce, puede verificar si el resultado tiene sentido. Al menos, con una velocidad aerodinámica demasiado baja obtienes un argumento negativo para el coseno que matemáticamente significa un ángulo de alabeo de >90° y puede interpretarse como demasiado lento para ese giro.

EDITAR

Ahora tenemos una pregunta similar pero con la velocidad y el ángulo de balanceo como variables. Obviamente, ahora necesitamos derivar tanto con respecto a la velocidad como al ángulo de balanceo. Pero es más divertido trazar los resultados sobre estos dos como un gráfico de contorno. Solo tuve que hacer esto ya que varias respuestas aquí afirman que el ángulo óptimo es 45 °. Igualmente obvio, esto es demasiado simplista.

Primero las matemáticas: empiezo con las mismas ecuaciones que arriba y agregué un término para el viento ( $w_z$ ) que agrega masa de aire ascendente o descendente al problema.

∆ h = \frac{π \cdot v}{gramo \cdot t a norte ϕ} \cdot (v_{z} + w_{z}) = \frac{π \cdot v}{gramo \cdot \sqrt{{norte}_{z}^{2} - 1}} \cdot (\frac{v \cdot C_{D}}{C_{L}} + w_{z})

$∆h = \frac{\pi\cdot v}{g\cdot tan\phi}\cdot(v_z+w_z) = \frac{\pi\cdot v}{g\cdot\sqrt{n_z^2-1}}\cdot\left(\frac{v\cdot c_D}{c_L}+w_z\right)$ Expresando el coeficiente de sustentación como

C_{L} = \frac{2 \cdot {norte}_{z} \cdot metro \cdot gramo}{ρ \cdot S \cdot v^{2}}

$c_L = \frac{2\cdot n_z\cdot m\cdot g}{\rho\cdot S\cdot v^2}$ nos lleva a

∆ h = \frac{π}{{gramo}^{2} \cdot \sqrt{{norte}_{z}^{2} - 1}} \cdot (\frac{ρ \cdot S \cdot v^{4} \cdot C_{D 0}}{2 \cdot {norte}_{z} \cdot metro} + \frac{2 \cdot {norte}_{z} \cdot metro \cdot {gramo}^{2}}{π \cdot ρ \cdot S \cdot A R \cdot ϵ} + w_{z} \cdot v \cdot gramo)

$∆h = \frac{\pi}{g^2\cdot\sqrt{n_z^2-1}}\cdot \left(\frac{\rho\cdot S\cdot v^4\cdot c_{D0}}{2\cdot n_z\cdot m} + \frac{2\cdot n_z\cdot m\cdot g^2}{\pi\cdot\rho\cdot S\cdot AR\cdot\epsilon} + w_z\cdot v\cdot g\right)$ Nomenclatura:

g

$\kern4mm g\kern6mm$ aceleración gravitacional

n_{z}

$\kern4mm n_z\kern4mm$ factor de carga vertical

ρ

$\kern4mm \rho\kern6mm$ densidad del aire

S

$\kern4mm S\kern5mm$ área del ala

v

$\kern4mm v\kern6mm$ velocidad de vuelo

c_{D 0}

$\kern4mm c_{D0}\kern2mm$ coeficiente de arrastre de elevación cero

m

$\kern4mm m\kern5mm$ masa del avión

A R

$\kern4mm AR\kern1mm$ relación de aspecto del ala

ϵ

$\kern4mm \epsilon\kern6mm$ factor de oswald

La siguiente figura es el resultado trazado en R. Dado que necesito leer la matriz completa de valores para el gráfico de contorno, el área de baja velocidad y alto ángulo de inclinación se llena con el resultado de una función de penalización estricta, así que ignore los valores a la derecha y debajo de la línea roja.

Gráfico de contorno de las pérdidas de altura de una aeronave tipo A320 en un giro de 180° al nivel del mar y MTOW (78 toneladas), sin viento. X es el ángulo de inclinación en grados e Y es la velocidad de vuelo en m/s. Propio trabajo.

Como puede ver, el mínimo (aprox. 170 m) se alcanza justo antes de entrar en pérdida con un ángulo de alabeo y una velocidad elevados. Desafortunadamente, necesita la versión acrobática del A320 para volar con seguridad.

Pregunta ingenua. ¿Qué impide que su numerador acos se vuelva negativo? ¿Son esos casos físicamente sin sentido? ¿De lo contrario, su expresión produce ángulos de alabeo negativos?
@curious_cat: Los ángulos de alabeo negativos muestran que la velocidad no es suficiente para crear la sustentación requerida incluso en vuelo recto. La restricción es en realidad la velocidad, y esto da como resultado un límite superior para el coeficiente de sustentación.
En la etapa en la que define el término "pérdida de altura más pequeña para un cambio de azimut dado", ¿por qué no puede cancelar la velocidad y luego ese término se convierte simplemente en 1 / (R sin glide_angle) Dado que se conoce el ángulo de planeo, debe minimizar R para maximizar el término "pérdida de altura más pequeña para un cambio de acimut dado". Pero R será v^2/ (g tan bank_angle). Entonces, para minimizar R, maximice tan bank_angle y, por lo tanto, maximice bank_angle. Por lo tanto, podría recomendar el banco tanto como pueda sin estancarse. ¿Estoy cometiendo un error?
He agregado otra respuesta que da una derivación detallada de lo que quiero decir. Me encantaría tu crítica sobre eso si pudieras. ¡Gracias!
@curious_cat: La inclinación más pronunciada y el AoA cercano al estancamiento son la respuesta correcta para la tasa de rotación absoluta más alta. La pérdida de altitud más pequeña es la pérdida de potencia mínima, cuando $\frac{c_L^3}{c_D^2}$ está al máximo. La mejor relación entre la velocidad de giro y la pérdida de altitud debe estar en algún lugar entre ambos óptimos. Dado que la velocidad es fija, el resultado final depende de la velocidad (y ciertamente no siempre es de 45°).

J walters · Answer 3

El mejor ángulo de alabeo para una aeronave que planea para optimizar tanto la velocidad de giro como la velocidad de descenso se puede generalizar como 45°.

La razón de esto es que 45° es el punto en el que la componente vertical de sustentación es igual a la componente horizontal de sustentación.

En otras palabras, un ángulo de alabeo de 45° producirá la mayor fuerza de giro centrípeta (ascenso horizontal) mientras mantiene la mejor tasa de caída (en función de la componente vertical de sustentación). Un ángulo de alabeo menor producirá una mejor tasa de caída, pero producirá una tasa de giro menor que disminuirá a una tasa mayor a la que mejora la tasa de caída. Por el contrario, un mayor ángulo de alabeo producirá una mejor tasa de giro, pero producirá una mayor tasa de caída que aumenta a una tasa mayor que la mejora de la tasa de caída.

Este fenómeno es puramente una función del ángulo de alabeo, totalmente independiente de otros factores de diseño o carga y, por lo tanto, es válido para todas las aeronaves de ala fija.

Editar: esta puede ser una respuesta nominal, que no tiene en cuenta las variaciones menores en las curvas L / D, pero satisface mis necesidades operativas como piloto que experimenta una emergencia en la que mantendré el "mejor planeo" durante un giro y mi banco de 45 ° es probablemente +/- 5°.

Eso está totalmente bien, en realidad se recomienda responder a su propia pregunta.
La velocidad de giro más alta, independientemente de la velocidad de descenso, se puede obtener en la sustentación máxima (es decir, justo antes de entrar en pérdida), y la pérdida de altitud mínima en el punto cuando $\frac{c_L^3}{c_D^2}$ está al máximo. La respuesta correcta debe estar en algún lugar entre ambos puntos y ciertamente depende de la velocidad fija (que determina qué reservas de sustentación están disponibles para girar). 45° solo será correcto a una velocidad específica.

Rainer P. · Answer 4

No hay una solución general, al menos sin supuestos adicionales.

Lo que tengo hasta ahora

El problema depende tanto del ángulo de alabeo como de la velocidad aerodinámica.
Podemos calcular la velocidad angular (velocidad de giro) a partir del ángulo de inclinación y la velocidad aerodinámica

ω = \frac{gramo \cdot t a norte θ}{v_{H}}

$\omega = \frac{g \cdot tan~\theta}{v_H}$

Podemos buscar la velocidad vertical desde la curva polar (ángulo de inclinación corregido)

v_{V} = \frac{F (v_{H} \cdot \sqrt{C o s θ})}{\sqrt{C o s θ}}

$v_V = \frac{f(v_H \cdot \sqrt{cos~\theta~~})}{\sqrt{cos~\theta~~}}$

Podemos calcular la relación $\frac{\omega}{v_V}$ que el autor de la pregunta quiere maximizar para cualquier velocidad aerodinámica y ángulo de alabeo.

Sin ningún conocimiento del polar en forma analítica o suposiciones, estamos atrapados aquí.

Prueba

Dejar $\theta$ , $a_N$ , $a_H$ , $a_V$ ser ángulo de banco, aceleración normal, horizontal y vertical. Sus relaciones son:

a_{V} = a_{norte} \cdot C o s θ

$a_V = a_N \cdot cos~\theta$

a_{H} = a_{norte} \cdot s i norte θ

$a_H = a_N \cdot sin~\theta$

con $a_V = 1g$

a_{norte} = \frac{1}{C o s θ} \cdot 1 gramo

$a_N = \frac{1}{cos~\theta} \cdot 1g$

a_{H} = a_{norte} \cdot s i norte θ = \frac{s i norte θ}{C o s θ} \cdot 1 gramo = gramo \cdot t a norte θ

$a_H = a_N \cdot sin~\theta = \frac{sin~\theta}{cos~\theta} \cdot 1g = g \cdot tan~\theta$

Dejar $r$ y $\omega$ ser el radio de giro y la velocidad angular. Dejar $v_H$ sea la velocidad aerodinámica. La aceleración horizontal es la aceleración centrípeta en nuestro turno, entonces:

\frac{v_{H}^{2}}{r} = gramo \cdot t a norte θ

$\frac{v_H^2}{r} = g \cdot tan~\theta$

La velocidad angular (tasa de giro) es:

ω = \frac{v_{H}}{r} = \frac{gramo \cdot t a norte θ}{v_{H}}

$\omega = \frac{v_H}{r} = \frac{g \cdot tan~\theta}{v_H}$

Dejar $v_V$ sea la tasa de caída que es una función $f$ de la velocidad aerodinámica. La función $f$ generalmente se da como curva polar . Para factores de carga distintos de $1g$ , tenemos que escalarlo por la raíz cuadrada del factor de carga $k$ .

k = \frac{1}{\sqrt{C o s θ}}

$k = \frac{1}{\sqrt{cos~\theta~~}}$

v_{V} = k \cdot F (\frac{v_{H}}{k})

$v_V = k \cdot f \left( \frac{v_H}{k} \right)$

gato_curioso · Answer 5

¿No sería el problema matemático algo así?

V = L porque θ

$V = L\cos\theta$

H = L pecado θ

$H = L\sin\theta$

R_{S} = k_{1} (W - V)

$R_S = k_1 (W - V)$

R_{T} = k_{2} H

$R_T = k_2 H$

Maximizar $R_T / R_S$ con respecto a $\theta$ constante dada $L, k_1, k_2, W$

Notación:

$\theta$ es ángulo de banco
$L$ es Ascensor
$H, V$ son componentes horizontales y verticales de ascensor
$W$ es peso
$R_S$ es tasa de hundimiento
$R_T$ es la tasa de giro
$k_1, k_2$ son constantes positivas

Las matemáticas:

$R_T / R_S$ evalúa a

\frac{\frac{k_{2} L}{k_{1}} pecado θ}{W - L pecado θ}

$\frac{\frac{k_2 L}{k_1}\sin\theta}{W - L \sin\theta}$

Maximiza esta expresión con respecto a $\theta$ .

PD. Cuando hago los cálculos obtengo el $\theta$ que maximiza la tasa de giro por tasa de caída como un ángulo de inclinación de 90 grados.

Obviamente, estoy estropeando mis matemáticas o mi modelo. debo estar equivocado Tal vez mi error fue tomar ascensor $L$ como una constante? supongo $L$ cambiará con el banco también?

Además, supongo que las características del puesto deberían importar. ¿Tal vez esa restricción adicional diría inclinarse en el ángulo máximo que no lo detendrá?

PD. Esto es justo al final de la estimación del sobre. Probablemente estoy siendo ingenuo al no considerar las complejidades del problema.

@JonathanWalters Podría ser. Todavía podría desaparecer de la expresión final.
Extraño, obtengo 90 grados como el ángulo que maximiza la relación entre la velocidad de giro y la pérdida de altitud. Debo estar haciendo algo mal.
La sustentación definitivamente no es constante, porque la componente vertical debe permanecer igual al peso, ya que no hay aceleración vertical durante toda la maniobra.
No se puede calcular la tasa de caída a partir de la elevación. La tasa de hundimiento es igual al arrastre (veces la velocidad). En esta ecuación se necesita arrastre (inducido).
Tenga en cuenta que para asumir que la resistencia es constante, debe aumentar la velocidad, porque la mejor velocidad de planeo es en realidad el mejor ángulo de ataque de planeo y aumenta en el giro (en ~19% (⁴√2) para un ángulo de inclinación de 45°).
Tenga en cuenta que $k_1 (W - V)$ es una fuerza (masa por aceleración), por lo que si no es cero, representa la velocidad a la que se acelera la velocidad de descenso . En la condición de estado estacionario (tasa de caída constante), esta expresión tiene que ser cero. -- Oh, espera, creo que Jan Hudec ya dijo esto.
@DavidK De acuerdo. Demasiados problemas en mi derivación. Tal vez debería eliminarlo.
¿Cambia algo si corriges el seno en el denominador en coseno?

gato_curioso · Answer 6

Estoy agregando otra respuesta que parece demasiado simplista, pero no puedo detectar por qué es incorrecta.

Aquí va:

El término que queremos maximizar es "pérdida de altura más pequeña para un cambio de azimut dado" y se puede demostrar que es la siguiente lógica de @PeterKampfs:

\frac{ω}{v_{z}} = \frac{1}{R * s i norte ϕ}

$\frac{\omega}{v_z}=\frac{1}{R * sin \phi}$

donde $\phi$ es el ángulo de planeo.

Dado que se conoce el ángulo de planeo, debe minimizar $R$ para maximizar el término "pérdida de altura más pequeña para un cambio de acimut dado". Pero

R = \frac{v^{2}}{gramo * t a norte θ}

$R=\frac{v^2}{g*tan \theta}$

Así que para minimizar R maximizar $tan \theta$ y por lo tanto maximizar $\theta$ . Así que podría recomendar el banco tanto como pueda.

Pero hay una restricción adicional introducida por el hecho de que no debes detenerte (obviamente). Debes usar el máximo $\theta$ pero no por encima $\theta_{stall}$

Deje que la velocidad de pérdida no bancarizada sea $v_{stall}$ . Bajo un giro inclinado de $\theta$ la velocidad de pérdida aumenta a:

v_{s t a yo yo}^{b a norte k mi d} = v_{s t a yo yo} * \sqrt{norte}

$v_{stall}^{banked}=v_{stall}*\sqrt{n}$

donde $n$ es el factor de carga.

norte = \frac{L}{metro gramo} = \frac{1}{C o s θ}

$n=\frac{L}{mg}=\frac{1}{cos \theta}$

Por lo tanto, en un giro alabeado de $\theta$ la velocidad de pérdida será:

v_{s t a yo yo}^{b a norte k mi d} = \frac{v_{s t a yo yo}}{\sqrt{C o s θ}}

$v_{stall}^{banked}=\frac{v_{stall}}{\sqrt{cos \theta}}$

Por lo tanto, el ángulo máximo de inclinación sería el que debería usar y ese sería:

θ = a r C C o s ({(\frac{v_{s t a yo yo}}{v})}^{2})

$\theta=arccos \left( \left(\frac{v_{stall}}{v}\right)^2 \right)$

@JonathanWalters De hecho. estoy usando velocidad aerodinámica constante $v$ . ¿Dónde me estoy equivocando? Lo siento si no estoy viendo lo obvio.
@JonathanWalters ¡No te preocupes! Pero, ¿qué sientes al respecto? ¿Puedes encontrar algún otro defecto? Si de hecho es correcto, tengo curiosidad de cómo encaja con las otras derivaciones dadas por Peter Kampf, etc.,
@curious_cat: Dado que la velocidad es fija, $c_L$ varía con el ángulo de alabeo y no podemos asumir que se conoce el ángulo de planeo. El avión está en algún lugar del polo, y no necesariamente en el mejor $\frac{c_L}{c_D}$ . Su resultado da la velocidad de giro más alta posible independientemente de la pérdida de altitud.

¿Cuál es el ángulo de alabeo óptimo para lograr un giro dado en un planeo?

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OcultoParabrisas

pericintion

Peter Kämpf

lo que se da

que se puede cambiar

Solución

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Peter Kämpf

Rainer P.

No hay una solución general, al menos sin supuestos adicionales.

Lo que tengo hasta ahora

Prueba

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david k

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dariop

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