¿Cuál debería ser la explicación intuitiva de la ecuación de onda?

La "intuición" aquí es que la ecuación de onda es la ecuación para una "perturbación" general que tiene un componente que viaja hacia la izquierda y hacia la derecha, es decir, se propaga sin ninguna dirección preferida dada por la ecuación de movimiento.

Observa eso

$$\left(v^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right) y = 0$$ se puede factorizar como (que es lo que probablemente quiere decir con "cuadrar" en la pregunta) $$\left(v\frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial t}\right)\left(v\frac{\partial}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial t}\right) y = 0$$ Insinuando $$\left(v\frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial t}\right)y = 0 \quad\vee\quad \left(v\frac{\partial}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial t}\right) y = 0$$ donde es fácil ver que $y(x,t) \equiv y(x - vt)$y $y(x,t) \equiv y(x + vt)$son soluciones, respectivamente. Ya que $v$se supone positivo, $x-vt$se vuelve más pequeño a medida que pasa el tiempo $t$pasa (lo que sea $y$describe está viajando hacia la derecha en el sistema de coordenadas habitual), y de manera similar, $x+vt$viaja hacia la izquierda . Por linealidad, la solución general es una suma de motores a la izquierda y a la derecha, es decir $y(x,t) \equiv y_R(x - vt) + y_L(x + vt)$.

Las condiciones iniciales$y(x,0) = f(x)$y$\frac{\partial}{\partial t}y(x,0) = g(x)$para funciones arbitrarias de posición$f,g$especificar completamente la solución por la fórmula de d'Alembert :

$$y(x,t) = \frac{1}{2}\left[f(x-vt) + f(x+vt) + \frac{1}{v}\int_{x-vt}^{x+vt}g(z)\mathrm{d}z\right]$$ donde (mas o menos) $f$corresponde a la forma de la perturbación y $g$a la forma en que se propagará. Tenga en cuenta que, en particular, para $g = 0$y $f = \sin$, obtenemos solo una onda estacionaria .

Ante todo,$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$y$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$son las segundas derivadas parciales de$y(x,t)$con respecto a$x$y$t$. Entonces no puedes obtener la ecuación de onda de la ecuación de primer orden

$$v \frac{\partial y}{\partial x} = \frac{\partial y}{\partial t}$$

elevándolo al cuadrado en sentido algebraico. También el cuadrado del operador diferencial

$$\begin{equation} v \frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial t} \end{equation}$$

no es el correcto. Voy a comentar sobre eso al final.

Sobre la explicación intuitiva: un trozo de cuerda está sujeto a una fuerza (y, en consecuencia, a una aceleración$\partial^2 y/\partial t^2$) que es proporcional a su curvatura, que se mide para pequeñas pendientes por la segunda derivada$\partial^2 y/\partial x^2$. La razón de esto es que en los bordes de la cuerda la tensión da fuerzas tangentes (ver la figura)

En la primera aproximación, desprecias la segunda derivada y el trozo de cuerda se aproxima por un segmento. En este caso no hay fuerza neta, porque los efectos de la tensión en los dos bordes se cancelan (figura de la izquierda). En una segunda aproximación, el trozo de cuerda se curva (figura de la derecha) y se obtiene una fuerza transversal neta.

Tenga en cuenta que puede escribir la ecuación de onda en la forma

$$\left(\frac{\partial}{\partial x}-\frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial t} \right)\left(\frac{\partial}{\partial x}+\frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial t} \right)y(x,t)=0$$

factorizando el operador diferencial. ves eso$y(x,t)$es una solución de la ecuación de onda si es una solución de

$$\left(\frac{\partial}{\partial x}-\frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial t} \right)y(x,t)=0$$

o si es una solución de s

$$\left(\frac{\partial}{\partial x}+\frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial t} \right)y(x,t)=0$$

En el primer caso, la solución más general es$y(x,t)=F(x+vt)$, en el segundo$y(x,t)=G(x-vt)$, dónde$F$y$G$son funciones arbitrarias. La primera ecuación es equivalente a aquella de la que intenta derivar la ecuación de onda: describe una onda arbitraria que se mueve en la dirección izquierda. Pero también hay ondas que se mueven en la dirección correcta, que son solución de la segunda ecuación. La ecuación de onda correcta contiene el producto de ambos operadores diferenciales de primer orden y no el cuadrado de uno de ellos.