Coordenadas perifocales y la ecuación de la órbita

Question

Coordenadas perifocales y la ecuación de la órbita

Espacio
cálculo
elementos orbitales
mecánica-orbital

John

Dada la posición $(p,q)$ y velocidad $(v_p,v_q)$ de un satélite en coordenadas perifocales $(\hat{p},\hat{q})$ dónde $\hat{p}$ apunta hacia el periapsis, puedo calcular fácilmente el momento angular específico $h$ con:

h = (pags \times v_{q}) - (q \times v_{pags})

$\begin{equation} h = (p \times v_q) - (q \times v_p) \end{equation}$ Y puedo conseguir la excentricidad

e

$e$ con la ecuación de la órbita naturalmente:

mi = \frac{(\frac{h^{2}}{m r} - 1)}{porque (θ)}

$\begin{equation} e = \frac{\left(\frac{h^2}{μ r} - 1\right) }{\cos(\theta)} \end{equation}$ dónde

μ

$\mu$ es el parámetro gravitatorio del cuerpo orbitado y el radio

r

$r$ y verdadera anomalía

θ

$\theta$ se calculó con:

r = \sqrt{{pags}^{2} + q^{2}}, a norte d

$\begin{equation} r = \sqrt{p^2 + q^2}, \mathrm{and} \end{equation}$

θ = \arccos (\frac{pags}{r}) .

$\begin{equation} \theta = \arccos\left(\frac{p}{r}\right). \end{equation}$ Sin embargo, tengo problemas para calcular la excentricidad directamente usando la velocidad

v

$v$ en lugar del momento angular específico.

Usando estas ecuaciones:

\begin{array}{rcl} h^{2} = m r (1 + mi porque (θ)), \\ h = v_{perpetrador} r, \\ v_{radio} = \frac{m}{h} mi pecado (θ), \\ v^{2} = v_{perpetrador}^{2} + v_{radio}^{2} \end{array}

$\begin{eqnarray} h^2 = \mu r (1 + e \cos(\theta)), \\ h = v_\text{perp} r, \\ v_\text{radi} = \frac{\mu}{h} e \sin(\theta), \\ v^2 = v_\text{perp}^2 + v_\text{radi}^2 \end{eqnarray}$ dónde

v_{perp}

$v_\text{perp}$ y

v_{radi}

$v_\text{radi}$ son la velocidad perpendicular y radial en relación con el vector de posición del cuerpo orbitado, derivé una ecuación para resolver la excentricidad:

θ = \frac{m}{r} {mi}^{2} + [(\frac{2 m}{r} - v^{2}) porque (θ)] mi + (\frac{m}{r} - v^{2}) .

$\begin{equation} \theta = \frac{\mu}{r} e^2 + \left[\left(\frac{2\mu}{r} - v^2\right) \cos(\theta)\right] e + \left(\frac{\mu}{r} - v^2\right). \end{equation}$ Esto es solo una cuadrática y la solución se ve así:

mi = \frac{- [(\frac{2 m}{r} - v^{2}) porque (θ)] \pm \sqrt{{[(\frac{2 m}{r} - v^{2}) porque (θ)]}^{2} - \frac{4 m}{r} (\frac{m}{r} - v^{2})}}{\frac{2 m}{r}}

$\begin{equation} e = \frac{- \left[\left(\frac{2\mu}{r} - v^2\right) \cos(\theta)\right] \pm \sqrt{\left[\left(\frac{2\mu}{r} - v^2\right) \cos(\theta)\right]^2 - \frac{4\mu}{r}\left(\frac{\mu}{r} - v^2\right)}}{\frac{2\mu}{r}} \end{equation}$

Todo esto me pareció bien, pero cuando traté de comparar la primera ecuación (por $h$ ) con esta última ecuación (por $e$ ), encuentro resultados inconsistentes. Por ejemplo, considere un satélite con estos parámetros:

\begin{array}{rcl} (pags, q) = (7000, 9000), \\ (v_{pags}, v_{q}) = (- 5, 7) . \end{array}

$\begin{eqnarray} (p,q) = (7000, 9000), \\ (v_p,v_q) = (-5, 7). \end{eqnarray}$ Usando la primera ecuación para encontrar

h

$h$ da:

h = 94000

$\begin{equation} h = 94000 \end{equation}$ Ahora, aquí trato de calcular

h

$h$ primero calculando

e

$e$ usando

v

$v$ ,

r

$r$ y

θ

$\theta$ (en estas unidades, diré

μ = 398600

$\mu = 398600$ ):

v = \sqrt{v_{pags}^{2} + v_{q}^{2}} = 8.602,

$\begin{equation} v = \sqrt{v_p^2 + v_q^2} = 8.602, \end{equation}$

r = \sqrt{{pags}^{2} + q^{2}} = 11401,

$\begin{equation} r = \sqrt{p^2 + q^2} = 11401, \end{equation}$

θ = \arccos (\frac{pags}{r}) = 0.90975.

$\begin{equation} \theta = \arccos\left(\frac{p}{r}\right) = 0.90975. \end{equation}$ Entonces tenemos (tomando la solución positiva de la ecuación cuadrática anterior):

mi = 1.0932,

$\begin{equation} e = 1.0932, \end{equation}$ y trabajando de nuevo a través de la ecuación de la órbita, obtengo

h

$h$ otra vez:

h = \sqrt{m r (1 + mi porque (θ))} = 87149.

$\begin{equation} h = \sqrt{\mu r (1 + e \cos(\theta))} = 87149. \end{equation}$ Pero esto es inconsistente con mi valor previamente calculado para

h

$h$ de 94000. Revisé mis matemáticas varias veces y siento que debo estar cometiendo algún error fundamental aunque no lo veo.

Como referencia, estoy tratando de reconciliar dos ejemplos (2.12 y 3.6) que se encuentran en el libro de Curtis " Mecánica orbital para ingenieros ", 3ra ed.

Respuestas (2)

Coordenadas perifocales y la ecuación de la órbita

marca adler · Answer 1

marca adler

Las condiciones iniciales del ejemplo no dan como resultado una órbita. La energía es positiva y la excentricidad es mayor que uno. Es una hipérbola.

También especificó en exceso el problema al afirmar que está en coordenadas perifocales, pero luego proporcionó condiciones iniciales que dan como resultado un periápside que no está en el eje p.

La excentricidad calculada es cercana, pero no correcta. $e\approx 1.10768$ .

John

Sobreespecificado, por supuesto! Gracias. Parece que el ejemplo 2.12 en el libro de Curtis es completamente incorrecto y/o engañoso. Las condiciones iniciales (x,y), (vx,vy) anteriores conducen a una verdadera anomalía de 32 grados, no los 52 grados que obtuve asumiendo que era un marco perifocal consistente.

marca adler

Encontré el ejemplo en el libro. (¡Está en las páginas "Look Inside" del libro en Amazon!) De hecho, el ejemplo no tiene sentido. Es sencillo calcular el vector de excentricidad directamente a partir de la posición y la velocidad. En coordenadas perifocales, el vector de excentricidad es por definición

(e, 0)

$(e,0)$ . Sin embargo, para la posición y la velocidad dadas, el vector de excentricidad es

(1.037, 0.390)

$(1.037,0.390)$ . El ejemplo calcula correctamente

h

$h$ , pero obtiene la anomalía verdadera y por lo tanto

e

$e$ equivocado. Este error no aparece en la fe de erratas del libro .

fibonático · Answer 2

En primer lugar, la excentricidad es una constante, por lo que no debería cambiar con la verdadera anomalía. Puede usarlo como una variable temporal, pero no es necesario para calcular $e$ .

Si usa diferentes definiciones para el momento angular , puede encontrar la excentricidad usando solo la posición y la velocidad en un momento dado,

h = r v_{pags mi r pags} = \sqrt{m a (1 - {mi}^{2})} .

$h=r v_{perp} = \sqrt{\mu a (1-e^2)}.$

El eje semi-mayor se puede encontrar utilizando la energía orbital específica ,

a = \frac{m r}{2 m - r v^{2}} .

$a = \frac{\mu r}{2\mu - r v^2}.$

Combinando estas dos ecuaciones se obtiene,

mi = \sqrt{1 + \frac{r v_{pags mi r pags}^{2}}{m} (\frac{r v^{2}}{m} - 2)} .

$e = \sqrt{1 + \frac{r v_{perp}^2}{\mu} \left(\frac{r v^2}{\mu} - 2\right)}.$

En este caso, el autor del libro en cuestión estaba usando la anomalía verdadera y la distancia al cuerpo, una función de la anomalía verdadera, para obtener una constante: la excentricidad. el estaba usando $r\left(1+e\cos\theta\right)=h^2/\mu$ . Estás haciendo lo mismo, usando $r$ y $v$ en algún instante particular, que también cambia en el tiempo, para obtener la constante $e$ .

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John

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fibonático

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