Contar conjuntos completos de bases mutuamente imparciales compuestas de estados estabilizadores

Considerar norte qubits Hay muchos juegos completos de 2 norte + 1 bases mutuamente imparciales formadas exclusivamente por estados estabilizadores. ¿Cuanto?

Cada conjunto completo se puede construir de la siguiente manera: divida el conjunto de 4 norte − 1 Operadores de Pauli (excluyendo la identidad) en ( 2 norte + 1 ) conjuntos de ( 2 norte − 1 ) operadores que se conmutan mutuamente. Cada conjunto de Paulis que viajan diariamente forma un grupo (si también incluye la identidad y las "copias" de los Paulis con fases añadidas ± 1 , ± i ). Los estados propios comunes de los operadores en cada uno de estos grupos forman una base para el espacio de Hilbert, y las bases son mutuamente imparciales. Entonces, la pregunta es cuántas particiones diferentes existen para norte qubits Para norte = 2 hay seis particiones, por norte = 3 hay 960 (como encontré computacionalmente).

La construcción anterior (debida a Lawrence et al., ver más abajo) puede ser un ejemplo de una estructura común en otros grupos discretos: una partición de los elementos del grupo en subgrupos abelianos (casi) disjuntos que solo tienen la identidad en común. ¿Alguien sabe acerca de esto?

Referencia:

Conjuntos observables binarios mutuamente imparciales en N qubits - Jay Lawrence, Caslav Brukner, Anton Zeilinger, http://arxiv.org/abs/quant-ph/0104012

física relacionada.stackexchange.com/q/391234/58382

Respuestas (2)

Aquí hay una respuesta que debería funcionar. Actualmente no tengo acceso a matlab para verificar esto para nada más que los casos más pequeños, por lo que debe hacerlo.

En primer lugar, personalmente me resulta más fácil trabajar en el conjunto reducido de 3 norte − 1 estabilizadores para N qubits (generando el otro a partir de esos). Totalmente una preferencia personal, y no cambia el resultado aquí.

Entonces queremos dividir el 3 norte − 1 posibles estabilizadores en conjuntos de 2 norte − 2 estabilizadores de conmutación y encuentre cuántas divisiones de este tipo son posibles.

Definir

α = 2 norte − 2 = tamaño de los conjuntos

β = 3 norte − 1 2 norte − 2 = número de conjuntos.

Ahora elegimos nuestros conjuntos de los estabilizadores disponibles. La primera vez, podemos escoger cualquier cosa - 3 norte − 1 opciones Luego tenemos que elegir un conjunto de desplazamiento, al que volveremos. Después de elegir el conjunto, hay ( 3 norte − 1 ) − α estabilizadores restantes. Podemos elegir cualquiera para el primero del siguiente conjunto. Y así. Sin embargo, para el set final no hay elección: solo habrá α estabilizadores a la izquierda. Entonces, las opciones para la primera entrada de cada conjunto son

F = ∏ k = 0 β − 2 ( 3 norte − 1 ) − α k

Ahora a elegir cada conjunto. En promedio, la mitad de los estabilizadores restantes para elegir conmutarán con cualquiera. Entonces, al elegir el segundo, la mitad del resto servirá. Así que para el primer conjunto, tenemos ( ( 3 norte − 1 ) − 1 ) / 2 opciones La siguiente elección tiene que conmutar con las dos anteriores, por lo que tenemos ( ( 3 norte − 1 ) − 2 ) / 2 2 opciones Y así. Para el siguiente conjunto, comenzamos con ( 3 norte − 1 ) − ( α + 1 ) estabilizadores restantes para recoger la segunda entrada. Entonces, las opciones para elegir los conjuntos son

S = ∏ metro = 1 β ∏ i = 1 α − 1 ( 3 norte − ( α metro + 1 ) − i ) 2 i + 1 )

Entonces el número de particiones posibles es F . S dividido por el número de formas posibles de permutar dentro de los conjuntos x el número de conjuntos (PR) y el número de formas de permutar los propios conjuntos (PC):

PAGS R = β . α !

PAGS C = β !

Entonces el número de particiones es F . S PAGS R . PAGS C

Gracias por pensar en este problema, pero me perdí justo al comienzo de tu argumento. Si desea trabajar con los operadores de Pauli que excluyen la identidad en cualquier qubit, debe haber 3 norte operadores y no 3 norte − 1 . Tal vez sea mejor hacer un seguimiento de un conjunto de generadores de cada grupo abeliano, hay norte dichos operadores en cada conjunto. Además, el número de conjuntos debe corresponder al número máximo de bases mutuamente imparciales, por lo que debe haber 2 norte + 1 conjuntos, y no β como dices arriba.
El conjunto reducido es el que excluye todas las extensiones de Pauli-Y, ya que estas se pueden producir multiplicando algunos de los estabilizadores que quedan. Es solo una forma de reducir a todos los estabilizadores independientes. De la misma manera, puede producir los conjuntos adicionales para los MUB a partir de los conjuntos reducidos mediante la multiplicación correspondiente. Como la pregunta era sobre el número de particiones, no el número de conjuntos, esta representación reducida está bien. Cualquier conjunto se puede expandir para dar todos los MUB correspondientes.
Estoy de acuerdo en que solo se pueden usar X y Z. El número de conjuntos, sin embargo, tiene que ser exactamente 2 norte − 1 , ya que ese es el número de MUB requerido. Observe que su número de conjuntos β puede ser fraccionario! Además, usted argumenta que para elegir los estabilizadores en cada conjunto es suficiente elegir estabilizadores que conmuten con los previamente elegidos en el conjunto; lamentablemente esto no es suficiente. Si elige sus estabilizadores con solo esta preocupación, puede acabar en una esquina, ya que puede ser imposible dividir a los operadores restantes en conjuntos de transporte. La referencia tiene ejemplos útiles y explícitos.
Perdón por el error en el comentario anterior, el número de juegos debe ser 2 norte + 1 . Entonces, el punto es que si elige sus bases sin cuidado, puede encontrarse en una situación en la que los operadores restantes no se pueden dividir como se desea. Entonces, el problema parece ser un problema combinatorio complicado, en oposición a uno simple de enumeración.
El argumento anterior toma en cuenta la combinatoria de "pintar en una esquina": a medida que el número restante se hace más pequeño, los elementos en S comenzarán a convertirse en fraccionarios, mostrando qué fracción de las combinaciones anteriores son válidas. Puede ejecutar este argumento con 4 norte − 1 en vez de 3 norte − 1 , y 2 norte − 1 , 2 norte + 1 en vez de α , β Si te gusta.

Para sistemas de dimensión finita, R. Buniy y T Kephart en 1012.2630 quant-ph proporcionan una herramienta para definir un conjunto de clases de equivalencia para estados de entrelazamiento en función de sus propiedades algebraicas. Tu respuesta debe estar ahí.

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