Conservación de la cantidad de movimiento y la segunda ley de Newton

Question

Conservación de la cantidad de movimiento y la segunda ley de Newton

baxx

No estoy seguro de si mi enfoque de esta pregunta es correcto. Tampoco entiendo por qué obtengo resultados inconsistentes de mi propio trabajo.

Pregunta

Laboral

Parte 1:

El tiempo que el bloque se mueve es el momento en que la fuerza de empuje supera a la fuerza debida a la fricción.

Entonces nosotros tenemos

F_{pag tu s h} = F_{F r i C t i o norte}

$F_{push} = F_{friction}$

Nuestros valores son

F_{pag} = 3 t, F_{F} = m_{s} metro gramo = m_{s} gramo = 10 (0.6) = 6

$F_p = 3t, F_f = \mu_s m g = \mu_s g = 10(0.6) = 6$

De esto tenemos que el bloque se moverá en el momento

3 t = 6

$3t = 6$

Resolviendo para $t$ da

t = \frac{6}{3} = 2

$t = \frac{6}{3} = 2$

Luego, para la primera parte, tenemos que el bloque comienza a moverse en el momento $t = 2$ segundos.

Parte 2 (usando Newtons Second):

Queremos saber la velocidad del bloque en $t = 5$ segundos.

De la parte 1 sabemos que el bloque no comienza a moverse hasta el momento $t = 2$ segundos.

De la segunda ley de newton tenemos

F = metro a

$F = ma$

Dónde $F$ es la fuerza neta. Esta fuerza neta será $F_n = F_p - F_f$ (empuje - fricción).

F_{pag} = 3 t

$F_p = 3t$

F_{F} = m_{k} metro gramo = m_{k} gramo = 0,55 (10) = 5.5

$F_f = \mu_k m g = \mu_k g = 0.55(10) = 5.5$

Entonces nosotros tenemos

F_{norte} = 3 t - 5.5 = metro a = a

$F_n = 3t - 5.5 = ma = a$

Así que esta es nuestra función de aceleración, la integración de esto nos da la velocidad como

v = \frac{3}{2} t^{2} - 5.5 t

$v = \frac{3}{2}t^2 - 5.5t$

La constante de integración se elimina cuando la velocidad inicial es cero.

Por lo tanto en el momento $t = 5$ segundos tenemos velocidad

v = \frac{3}{2} (5^{2}) - 5.5 (5) = 10

$v = \frac{3}{2}(5^2) - 5.5(5) = 10$

esto muestra que la velocidad es de 10 m/s en el momento $t = 5$ segundos

Parte 2 (usando la conservación del impulso):

La conservación de la cantidad de movimiento establece que

{pag}_{i norte i t} = {pag}_{F i norte a yo}

$p_{init} = p_{final}$

También disponemos de Impulse como

I = F Δ t

$I = F \Delta t$

Aquí $\Delta t = 3$ a medida que nos mudamos de $t = 2$ a $t = 5$ segundos. También tenemos la fuerza neta como antes, que es $F = ma = a = 3t - 5.5$

Lo que pone a Impulse como

I = (3 t - 5.5) \times 3 = 9 t - 16.5

$I = (3t - 5.5) \times 3 = 9t - 16.5$

Usando $I = \Delta p$ dónde $\Delta p = m(v_f - v_0)$ , tenga en cuenta que como $m = 1$ tenemos $\Delta p = (v_f - v_0)$ , y aquí $v_0 = 0$ , así que solo tenemos $\Delta p = v_f$ .

Usar esto da

I = 9 t - 16.5 = v_{F}

$I = 9t - 16.5 = v_f$

Ingresando $t = 5$ da

v_{F} = 45 - 16.5 = 28.5

$v_f = 45 - 16.5 = 28.5$

Entonces

Así que para la parte 1 tengo $t = 2$ segundos

Para la Parte 2 (usando Newtons) obtuve $v = 10$

Para la Parte 2 (usando impulso) obtuve $v = 28.5$

Así que claramente algo aquí está mal ya que tengo resultados inconsistentes, aunque no estoy seguro de qué.

usuario126422

en la parte 2

F_{p}

$F_p$ no es

3 t

$3t$ , es

3 (t + 2)

$3(t+2)$ porque empiezas a calcular en

t = 2

$t=2$

baxx

@WillyBillyWilliams gracias - Pensé que aunque empiezo a calcular en

t = 2

$t = 2$ teniendo en cuenta que lo que ocurrió entre 1 y 2 segundos no era necesario ya que no había movimiento allí.

usuario126422

Pero la aceleración que calculaste solo es válida para el intervalo [2,5]. Puede comenzar en t = 0, pero luego, cuando integre, debe considerar

a = 0

$a=0$ para t=[0,2]. En realidad estás usando una fuerza negativa para t=0

baxx

@WillyBillyWilliams Todavía no estoy seguro de seguirlo; estás diciendo que debería usar

F_{p} = 3 (t + 2)

$F_p = 3(t + 2)$ , hay algún otro lugar que debería considerar

t + 2

$t + 2$ en el problema? Y debo evaluar en

t = 5

$t = 5$ ¿aún?

usuario126422

depende de cómo quieras hacerlo, pero lo más simple es cambiar el tiempo, por lo que la fuerza comienza como F=3(t+2) para t=0 (que es el original t=2), y en lugar de 5 usas 3

baxx

@WillyBillyWilliams ok, gracias. Intentaré resolverlo ahora.

Respuestas (1)

Conservación de la cantidad de movimiento y la segunda ley de Newton

en la parte 2 $F_p$ no es $3t$ , es $3(t+2)$ porque empiezas a calcular en $t=2$
@WillyBillyWilliams gracias - Pensé que aunque empiezo a calcular en $t = 2$ teniendo en cuenta que lo que ocurrió entre 1 y 2 segundos no era necesario ya que no había movimiento allí.
Pero la aceleración que calculaste solo es válida para el intervalo [2,5]. Puede comenzar en t = 0, pero luego, cuando integre, debe considerar $a=0$ para t=[0,2]. En realidad estás usando una fuerza negativa para t=0
@WillyBillyWilliams Todavía no estoy seguro de seguirlo; estás diciendo que debería usar $F_p = 3(t + 2)$ , hay algún otro lugar que debería considerar $t + 2$ en el problema? Y debo evaluar en $t = 5$ ¿aún?
depende de cómo quieras hacerlo, pero lo más simple es cambiar el tiempo, por lo que la fuerza comienza como F=3(t+2) para t=0 (que es el original t=2), y en lugar de 5 usas 3
@WillyBillyWilliams ok, gracias. Intentaré resolverlo ahora.

un invitado · Answer 1

Para la parte de la ley de Newton, tu respuesta es incorrecta porque el bloque no comienza a moverse hasta t = 2 s. Por lo tanto, la velocidad debe ser 0 en t = 2 s, lo que significa que la constante de integración es en realidad 5 m/s (la fórmula ni siquiera se aplica para t = 0 s). Entonces la velocidad en t = 5 s es $\frac{3}{2} (5^2) - 5.5 (5) + 5 = 15 \: m/s$ .

Para la segunda parte, el impulso es en realidad $\displaystyle \int_{t=2}^{5} Fdt = \int_{t=2}^{5} (3t-5.5) dt = 1.5t^2-5.5t |_2^5 = 15$ porque la F en la fórmula para el impulso es el valor promedio de la fuerza de t=2 a t=5.

gracias, no entiendo por qué la constante de integración es 5 para la primera parte de su trabajo. re Impulse: para $I = F \Delta t$ , esto es en realidad solo una multiplicación para el caso de que la fuerza sea una constante, donde, como en este problema, la fuerza es una función del tiempo, lo que significa que debemos usar la integración (¿Es este razonamiento sólido?).
La fórmula para la aceleración se aplica para t= 2 s en adelante. Por lo tanto, no puede encontrar la constante de integración igualando la velocidad a 0 en t = 0. En su lugar, debe establecer v=0 en t= 2 s. Para que esto sea cierto, la constante de integración debe ser 5 porque $\frac{3}{2} (2) - 5.5(2) = -5$ .
Tu razonamiento es correcto. La relación impulso-cantidad de movimiento proviene de la segunda ley de Newton $F = \frac{dp}{dt}$ , que se puede reorganizar para leer $\int Fdt = \int dp = \Delta p$ . Para una fuerza constante, esto se convierte en $F \Delta t = \Delta p$ , pero para una fuerza dependiente del tiempo debes integrar.
No estoy seguro de seguir su razonamiento acerca de por qué la constante debe ser 5. También $1.5 * 2 - 5.5 * 2 = -8$ . Así que no estoy seguro de lo que me estoy perdiendo, edite lo que acaba de escribir $2$ en lugar de $2^2$ , no consideré eso sos
Lo siento, fue un error tipográfico. Dado que su fórmula se aplica para t = 2 s y más allá, acabo de establecer la velocidad igual a 0 en t = 2 s (no hay aceleración antes de eso) para encontrar la constante de integración.

Conservación de la cantidad de movimiento y la segunda ley de Newton

baxx

Pregunta

Laboral

Parte 1:

Parte 2 (usando Newtons Second):

Parte 2 (usando la conservación del impulso):

Entonces

usuario126422

baxx

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baxx

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