Conjunto canónico cerca del cero absoluto

Primero , consideremos el caso de partículas distinguibles. Considere un sistema de dos niveles donde cada uno de los$N$partículas está en un estado con energía$\epsilon_0$o$\epsilon_1$. La función de partición es

$$Z = \left(\text{e}^{-\beta \epsilon_0} + \text{e}^{-\beta \epsilon_1}\right)^N$$ De ello se deduce que la energía libre es $$F = - \beta^{-1} \ln Z = - \beta^{-1} N \ln \left(\text{e}^{-\beta \epsilon_0} + \text{e}^{-\beta \epsilon_1}\right)$$ y la energía interna promedio $$\bar{E} = - \frac{\partial \ln Z}{\partial \beta} = N \frac{\epsilon_0\text{e}^{\beta \epsilon_1} + \epsilon_1 \text{e}^{\beta \epsilon_0}}{\text{e}^{\beta \epsilon_0} + \text{e}^{\beta \epsilon_1}}$$

la entropía es

$$T S = \bar{E} - F$$

Definición$\Delta = \epsilon_1 - \epsilon_0 > 0$ser el espacio entre los niveles de energía que encontramos después de algunos reordenamientos que

$$\frac{S}{k_{\text{B}}} = N \left[ \frac{\beta \Delta}{1+\text{e}^{\beta \Delta} } + \ln \left( 1 + \text{e}^{-\beta \Delta} \right) \right]$$

Como era de esperar, la entropía depende solo de la diferencia$\Delta$entre los niveles de energía y es extensiva (es decir, proporcional a$N$). en el limite$\beta \Delta \rightarrow \infty$(o$T \rightarrow 0$) la entropía tiende a cero como antes, mientras que cuando$\beta \Delta \rightarrow 0$(o$T \rightarrow \infty$) la entropía se aproxima$N \ln{2}$como se esperaba para un sistema de dos estados completamente desordenado.

En segundo lugar , consideremos el caso de los bosones indistinguibles. La función de partición es ahora

$$Z = \sum_{n=0}^N x_0^n \, x_1^{N-n} = \frac{x_0^{N+1} - x_1^{N+1}}{x_0-x_1}$$ dónde $x_i = \text{e}^{- \beta \epsilon_i}$es el factor de Boltzmann de la $i$-ésimo nivel de energía. el calculo de $F$, $\bar{E}$y $S$funciona igual que antes. Las expresiones ahora son más largas pero no demasiado complicadas, lo que las hace perfectas para algo como Mathematica. Por la entropía que obtengo $$\frac{S}{k_{\text{B}}} =\frac{\beta \Delta \left(-e^{\beta \Delta }+N \left(-e^{\beta \Delta (N+2)}\right)+(N+1) e^{\beta \Delta (N+1)}\right)+\left(e^{\beta \Delta }-1\right) \left(e^{\beta \Delta (N+1)}-1\right) \log \left(e^{\beta \Delta (N+1)}-1\right)}{\left(e^{\beta \Delta }-1\right) \left(e^{\beta \Delta (N+1)}-1\right)}-\log \left(e^{\beta \Delta }-1\right)$$ Para $N=1$esta expresión es la misma que la obtenida antes, como era de esperar. En el límite de baja temperatura $\beta\Delta \rightarrow \infty$la entropía llega a cero; en el límite de alta temperatura $\beta\Delta \rightarrow 0$la entropía es $\ln (N+1)$.