Entropía de un gas ideal en T→0T→0T\to 0 límite

Después de derivar la entropía de un gas ideal llegamos a:

S = norte k [ en ⁡ ( V ) + 3 2 en ⁡ ( T ) + 3 2 en ⁡ ( 2 π metro k h 2 ) − en ⁡ ( norte ) + 5 2 ]

En el límite de temperatura cero, esperamos tener S = 0 , sin embargo, obtenemos infinito. ¿Cómo podemos superar esta inconsistencia matemática?

¿ Has intentado una simple búsqueda en wikipedia ? :)
sí, no tenía nada que decir relacionado con mi pregunta.
¡Ciertamente lo hace, si miras un poco más de cerca! De todos modos, te he escrito una respuesta que es más o menos una extensión de lo que se da allí.

Respuestas (2)

El hecho de que la entropía de un gas ideal (¡clásico!) llegue al infinito a medida que la temperatura T se acerca al cero absoluto es un reflejo del hecho de que esta ecuación no es válida en ese régimen.

Si mal no recuerdo, durante la derivación de la entropía de este gas, se hizo la suposición implícita de que el gas sigue las estadísticas de Maxwell-Boltzmann. Sin embargo, sabemos que esto no es cierto y que esta es la aproximación 'clásica'.

Los bosones y los fermiones se comportan de manera muy diferente cerca del cero absoluto: los bosones tienden a condensarse en los mismos niveles de energía, mientras que los fermiones forman una "torre" de estados debido al principio de exclusión de Pauli. Para describir tales gases, sería necesario utilizar las distribuciones de Bose-Einstein o Fermi-Dirac. Las secciones 5, 6 y 7 de estas notas parecen abordar esto con cierto detalle.

Una nota al margen interesante aquí es la idea de la longitud de onda térmica de De Broglie que proporciona un umbral por encima del cual la aproximación clásica es válida. Para una partícula masiva, esta longitud de onda se calcula fácilmente utilizando la longitud de onda estándar de De Broglie:

λ el = h 2 metro mi = h 2 π metro k B T

Cuando la distancia entre las partículas es mucho mayor que λ el el gas es efectivamente un gas clásico o de Maxwell-Boltzmann. Por otro lado, los efectos cuánticos dominan cuando la distancia entre partículas es del orden de o menor que λ el y el gas debe ser tratado como un gas Fermi o un gas Bose. Si definimos la distancia media entre partículas como ≈ ( V norte ) 1 3 , entonces vemos que el límite 'clásico' es cuando

λ el 3 ≪ ( V norte )

Para conectar esto con su pregunta, observe que la entropía se puede reescribir como

S k B norte = en ⁡ ( V norte λ el 3 ) + 5 2

Así, dado que se utilizó la aproximación clásica, esta fórmula sólo es válida en regímenes donde

V norte λ el 3 ≫ 1

Tomando así el límite de T → 0 queda fuera del régimen de su vigencia.

La entropía para un gas de electrones es S = π 3 k B 2 T norte ( mi F ) . Ths tiende a cero cuando T tiende a cero.

aquí estamos hablando de la entropía, no del nivel de energía.
Creo que lo que @thierry está tratando de decir es que la dependencia de la temperatura se obtiene usando la relación de la energía interna del gas.
tu = 3 2 norte k B T
que tiende a cero como T → 0 . Si reescribe la entropía en términos de la energía interna y luego impone que tenga un valor mínimo distinto de cero, el problema de la entropía infinita no surge.
Debo admitir que si bien resuelve el problema del infinito, todavía no estoy muy convencido por este argumento, ya que estoy de acuerdo en que a medida que nos acercamos al cero absoluto, el número de posibles microestados (al menos para los bosones) tiende a 1 ( todos ellos en el mismo estado fundamental), por lo que debería tener una entropía cero en lugar de una entropía finita.
Sí, exacto, confirmo tu última afirmación. Para la temperatura absoluta, en el sentido limitante, existe solo un microestado o una configuración posible para las partículas. por tanto, según la famosa relación de Boltzman, la entropía debe ser cero.
Sí, pero como expliqué en mi respuesta, esto se resuelve calculándolo usando las distribuciones correctas (Fermi-Dirac para fermiones y Bose-Einstein para bosones).
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