¿Conexión entre curvatura espacial, temporal y espaciotemporal?

Creo que el problema esencial radica en la diferencia entre el significado matemático de la curvatura y la forma en que describimos una variedad o un espacio curvo (o espacio-tiempo).

Aunque describimos que el universo tiene una curvatura de espacio-tiempo (lo cual es matemáticamente cierto), la curvatura se refiere al tensor de curvatura de Riemann, que es un tensor de rango 4, lo que significa que tiene$4^4 =256$componentes, de los cuales (debido a diversas simetrías)$20$son independientes Esto es demasiado engorroso incluso para que lo piensen los matemáticos, pero lo que es cierto es que no se puede separar bien en curvatura espacial y curvatura temporal. Como dice @G.Smith en los comentarios, la "curvatura temporal" no tiene ningún sentido. El tiempo es una sola dimensión y un subespacio unidimensional no tiene ninguna curvatura riemanniana.

En otras palabras, usamos las matemáticas del espacio-tiempo curvo, pero en realidad no describimos nada directamente en términos de curvatura de Riemann. Escribimos la ecuación de Einstein para la gravedad usando el tensor de curvatura de Einstein (o Ricci), pero dado que es cero excepto en presencia de masa-energía (la fuente de la gravedad), no nos dice directamente sobre la geometría del espacio-tiempo; para saber que tenemos que resolver la ecuación de Einstein.

Cuando resolvemos la ecuación de Einstein, no encontramos la curvatura como tal. En su lugar, encontramos la métrica . Es mucho más fácil pensar en la métrica que en la curvatura (podemos escribir una fórmula a partir de la cual podríamos calcular la curvatura dada la métrica, pero en realidad nunca nos molestamos con ese horrible cálculo).

En lugar de pensar en la curvatura, pensamos en escalar las distorsiones en los mapas. En otras palabras, elegimos un sistema de coordenadas y pensamos en cómo aparecen las cantidades reales o propias en esas coordenadas. Las cantidades propias son las propiedades físicas que mediría un observador que se mueve con el objeto que se mide.

Podemos comparar esto con distorsiones de escala en mapas de la superficie de la Tierra. Es posible cualquier número de mapas diferentes. La métrica del mapa nos dice cómo comparar las distancias aparentes en el mapa con las distancias reales medidas por alguien en el suelo.

Entonces, en lugar de hablar de curvatura, hable de distorsiones de escala en los mapas. Entonces tu pregunta tiene sentido. Por ejemplo, no podemos medir directamente las distorsiones de escala en la geometría euclidiana en la región de la Tierra porque son demasiado pequeñas. Pero podemos, y lo hacemos, medir las distorsiones de escala en el tiempo. Los relojes de los satélites GPS miden la misma unidad de tiempo que los relojes idénticos de la Tierra. Miden exactamente un segundo por segundo (como exige el principio general de la relatividad). Pero en la Tierra parecen correr a un ritmo diferente, debido a la distorsión de escala en el mapa que se usa para describirlos. De hecho, podemos explicar la gravedad newtoniana completamente en términos de la distorsión de escala del componente de tiempo, siendo las distorsiones de escala de los componentes espaciales demasiado pequeñas para tener algún impacto.

La métrica del espacio-tiempo de un universo de Friedmann espacialmente plano, como parece ser el nuestro, en las escalas más grandes, es

donde la funcion$a(t)$es el factor de escala de Friedmann que describe la expansión del espacio en función del tiempo cosmológico$t$.

Puedes calcular su tensor de curvatura de Riemann 4D$R_{\mu\nu\lambda\kappa}$y encuentre que tiene varios componentes distintos de cero que involucran las derivadas primera y segunda de tiempo de$a(t)$. (¡Incluso algunos componentes en los que los cuatro índices son espaciales son distintos de cero!) Este es un ejemplo de curvatura del espacio-tiempo .

Ahora tome un corte espacial a través de este espacio-tiempo en algún tiempo cosmológico constante$t_0$.

La métrica de este espacio 3D es

donde el prefactor$a(t_0)^2$es solo una constante que podría absorberse en las coordenadas para reescalarlas.

Puede calcular su tensor de curvatura de Riemann 3D y encontrar que cada componente es cero. (Esto debería ser obvio, porque es solo una métrica euclidiana). Este es un ejemplo de planitud espacial o curvatura espacial cero .

La curvatura temporal no existe porque solo hay una dimensión de tiempo y los (sub)espacios unidimensionales siempre tienen curvatura riemanniana cero.

La noción de "curvatura espacial" solo tiene sentido cuando la geometría del espacio-tiempo es lo suficientemente simétrica como para que haya una foliación natural/preferida de ella en cortes similares al espacio. Luego puede hablar sobre la curvatura intrínseca de esos cortes.

La forma más fácil de entender por qué las curvaturas pueden ser diferentes es mirar un modelo cosmológico de juguete, como la imagen del "globo en expansión": espacio euclidiano 3D, siendo el tiempo la distancia al origen. El lugar geométrico de los puntos del "tiempo" del espacio con una coordenada de tiempo dada en este modelo es un espacio 2D de curvatura positiva constante, pero el "tiempo" del espacio de fondo 3D tiene una curvatura cero.

Un modelo de juguete un poco más realista es el análogo en el espacio de Minkowski 3+1D: el interior del futuro cono de luz del origen, siendo el tiempo la distancia (temporal) al origen. El lugar geométrico de los puntos con una coordenada de tiempo dada es un espacio 3D de curvatura negativa constante. Este modelo es, de hecho, el de densidad de energía cero o cero-$G$límite de cualquier cosmología FLRW en expansión. A medida que agrega densidad de energía o agrega gravedad, el espacio-tiempo se curva positivamente. Los cortes espaciales adquieren una curvatura creciente, que llega a cero en la densidad crítica y es positiva en densidades más altas. La coordenada de tiempo FLRW es análoga a la coordenada radial de un sistema de coordenadas polares en una superficie curva, como la superficie de la tierra, que es, por supuesto, de donde proviene el nombre "polar". La coordenada de tiempo es la latitud y las coordenadas de posición son la longitud.

Agregaría a todas las respuestas anteriores a la mía algo de "alimento para el pensamiento". Intentaría mostrarles un ejemplo visual de una doble variedad de Rieman (es decir, una superficie regular y no exactamente una superficie de espacio-tiempo de Lorenz), que es una superficie curvada negativamente pero tiene una familia completa (de hecho, dos familias) que son lineas rectas.

Eche un vistazo al hiperboloide de una hoja . Tiene dos familias de líneas rectas (la terminología es "tiene dos foliaciones transversales de líneas rectas"). Como sabemos, las líneas rectas son tan euclidianas como parecen, rectas en todos los sentidos, ya sean intrínsecos o incluso extrínsecos, como espacios incrustados en el hiperboloide, así como en tres espacios. Otro término aquí es "el hiperboloide es una superficie reglada". Sin embargo, el hiperboloide, como variedad bidimensional, tiene una curvatura negativa. Y aunque en el hiperboloide en cada punto hay exactamente dos direcciones que son rectas (plana, euclidiana), ¡la superficie total tiene una curvatura negativa!

Si ahora piensa en el hiperboloide de una hoja incrustado no en el espacio euclidiano tres regular, sino en el espacio de Minkowski dos más uno, obtiene un modelo de espacio deSitter uno más uno que es un tipo de espacio-tiempo no plano .