Con un aumento del 10% en la masa de la Tierra, ¿la línea de Karman se movería hacia arriba o hacia abajo, y cuánto?

¡Se movería hacia abajo!

Según la definición de la línea Karman en wikipedia, la fuerza de elevación y la "fuerza centrífuga" deben ser iguales a la fuerza gravitatoria y, por lo tanto, entre sí. Esto da la siguiente ecuación:

$\frac{1}{2}\rho v^2C_LS = \frac{v^2m}{R_e+h}$

Dónde$\rho$es la densidad, v es la velocidad,$C_L$es el coeficiente de sustentación, S es el área del ala, m es la masa del vehículo,$R_e$es el radio de la Tierra y h es la altitud.

Los términos de velocidad se cancelan y supuse que$C_LS$y m cancelado porque S es completamente una elección de diseño y podría elegirse de tal manera que$C_LS$era igual a m; independientemente, la línea Karman debe ser independiente del vehículo (por motivos prácticos de todos modos). Siguiendo estas simplificaciones, la ecuación se convierte en:

$(R_e+h)\rho=2$

La aplicación del modelo de altura de escala que proporcionó brinda un medio para calcular$\rho$en función de la altitud. Traté de resolver la ecuación resultante analíticamente, pero se volvió bastante desagradable y usé un buscador de cero.

Según la "aproximación de la altura de la escala", la densidad en función de la altitud es la siguiente:

$\rho(h) = \frac{M_{air}P_oe^{-h/H}}{RT_{avg}}$con$M_{air}$siendo la masa molecular media de la atmósfera,$P_o$siendo la presión sl, siendo R la constante del gas, y$T_{avg}$la temperatura atmosférica media. Presión ($P_o$) en función de la profundidad en un fluido se escala linealmente con la aceleración gravitacional; asumo que la altura de la atmósfera permanece igual y que la presión superficial se escala con el aumento de la gravedad superficial.

$H$es la altura de la escala y representa la altura en la que la presión disminuye por un factor de e. Se define como lo siguiente:

$H = \frac{RT_{avg}}{M_{air}g}$

La ecuación final que usé para encontrar cero para la altitud de Karman es esta:

$(R_e+h)\frac{M_{air}P_oe^{-h/H}}{RT_{avg}}-2=0$Con$P_o$y$H$siendo dependiente de la gravedad de la superficie como se definió anteriormente.

Primero ajusté la "temperatura atmosférica media" hasta que la altura fue igual a la marca tradicional de 100 km (con los 250K estándar, el valor era de ~110 km). A 221,55 K, calculé una altitud Karman de 100 km +/- 5 cm.

Finalmente pude ajustar la masa de la Tierra. Una masa de 1,1 terrestres redujo la altura de escala de 6,47 km a 5,88 km (aumentando efectivamente el gradiente de presión de la atmósfera y proporcionando una menor densidad a una altitud dada) y proporcionó una nueva línea Karman a 91,5 km.

EDITAR: Me gustaría decir que mi álgebra con respecto a la cancelación de$C_LS$con m es un poco dudoso. La línea Karman depende mucho de la masa del vehículo y de las características de elevación. Para simplificar, asumí que los dos valores eran iguales, pero hace un momento me di cuenta de que sus unidades no se cancelan. Las matemáticas aún se mantienen, pero el álgebra debe incluir un factor unitario que contenga las dimensiones que faltan.