¿La ecuación que se muestra a continuación es la correcta para un avión que vuela a la altitud de la línea de Kármán?

Solo mirando tus ecuaciones, puedo decir que la primera parece estar más cerca de la verdad. En la línea de Karman (que parece ser el límite entre la 'atmósfera' y el espacio), tienes rho (densidad del aire) más cerca de 0. Infinitezimalmente cerca de 0, por lo que el segundo término de la ecuación sería 0. Si consideras esto en su segunda ecuación, obtendría que la fuerza gravitacional en la línea de karman sería 0, lo cual es falso. Sin embargo, no tienes en cuenta algo, la resistencia inducida por el aire. Si tienes sustentación aerodinámica, tienes resistencia al aire. Esta es la razón por la que no se puede tener un cuerpo en órbita en la atmósfera de la Tierra, la resistencia del aire simplemente lo ralentizaría demasiado rápido. Además, si desea mantener el vuelo nivelado en la línea de karmans, tiene otro pequeño problema, su alfa debería estar cerca de 0, siendo alfa el ángulo de ataque.

Creo que lo resolví... No estoy seguro pero creo que estoy en el camino correcto.

Estuvo muy cerca de la solución correcta, y estuvo muy en lo cierto. La ecuación vinculada es inútil para describir la trayectoria real de un "Avión de Karman". Solo funciona para la Tierra plana :) La línea de Karman es una abstracción que tiene muy poco significado físico en el mundo real: se deriva de un pésimo híbrido de dos ecuaciones:

• la ecuación de aviación para vuelo nivelado:$mg = {\rho v^2 S C_l \over 2}$(peso = elevación;$W=L$); suposiciones: Tierra plana, gravedad constante

• la ecuación de la órbita circular:$v^2 = {GM\over r}$o 'íntegro'${G M_e m \over r^2 } = {m v^2 \over r}$(aceleración centrípeta = aceleración gravitatoria,$W=ma$); suposiciones: vacío. (también,$r = R+h$)

El híbrido amplía la ecuación de vuelo nivelado por la disminución de la gravedad con la altitud, pero no tiene en cuenta que la Tierra sea redonda, una simplificación que no se puede permitir en la mecánica orbital.

Su versión expande correctamente la ecuación orbital dándole un componente aerodinámico:$W-L=ma$, dónde

• Elevar$L = {\rho v^2 S C_l \over 2}$; (con$\rho$siendo una función de la altura; proporcional a la presión aproximada como$P_0 e^{- {h \over H}}$)

• Peso$W = {G M_e m \over (R+h)^2 }$

• aceleración centrípeta$a = {m v^2 \over R+h}$

Ahora, por qué su ecuación no ayudará:

Si tomamos el ascensor estándar, nunca desaparecerá; su componente de densidad disminuye exponencialmente con la altitud, y como la velocidad orbital también disminuye con la altitud, el componente de velocidad disminuirá con ella, por lo que es un gran$x e^x$tasa de abandono, pero nunca cero. Esto hace que sea imposible encontrar la altitud en la que el avión "no produce sustentación". Incline los paneles solares de la ISS hacia la derecha y todavía producirán algunos milinewtons de sustentación.

Pero lo que podemos hacer es tomar un coeficiente de elevación negativo , tratar de evitar que el avión espacial sea expulsado a una órbita más alta y encontrar una altitud en la que fallaremos. Vuele el avión "panza arriba" y vea qué tan alto puede llegar a una velocidad que excede ligeramente la velocidad orbital para una altitud dada antes de que sea expulsado a una órbita elíptica ya que su sustentación decreciente no logra evitarlo.

Así que cambiemos el signo:$W+L=ma$

La velocidad es ligeramente mayor de lo necesario. No infinitesimalmente sino del orden de apenas un par de m/s.

$v_k^2 = {GM_e \over r}+\epsilon$

La ecuación tomará la forma:

${G M_e m \over r^2 }+{\rho v_k^2 S C_l \over 2}= {m v_k^2 \over r}$

Sustituyamos el$v_k^2$

${G M_e m \over r^2 }= ({m \over r} - {\rho S C_l \over 2} )v_k^2$

${G M_e m \over r }= ({m } - {\rho r S C_l \over 2} )v_k^2$

${G M_e m \over r }= ({m } - {\rho r S C_l \over 2} )( {GM_e \over r}+\epsilon)$

Simplificalo un poco, resuelve para r

$m = (m - {\rho r S C_l \over 2} )( 1+{ \epsilon r \over GM_e})$

$0 = - {\rho r S C_l \over 2} - {\rho \epsilon r^2 S C_l \over 2GM_e} + { m \epsilon r \over GM_e}$

$0 = - {GM_e \rho r S C_l } - {\rho \epsilon r^2 S C_l } + { 2m \epsilon r}$

$0 = (2m \epsilon - {GM_e \rho S C_l })r - {\rho \epsilon r^2 S C_l }$

$r = {2m \epsilon - {GM_e \rho S C_l } \over {\rho \epsilon S C_l } }$

y reordenar en partes aerodinámicas y gravitatorias.

$r = {2m \over \rho S C_l} - {GM_e \over \epsilon }$

Y así, la ecuación a resolver sería

$R+h = {2m \over \rho(h) S C_l} - {GM_e \over \epsilon }$

Normalmente, el$GM_e \over \epsilon$parte debe ser muy grande - pero incluso para bastante pequeño$\epsilon$,$\rho(h)$disminuir exponencialmente debería crear un crecimiento de la parte aerodinámica lo suficientemente rápido como para dar una buena solución.