Comprobar si el operador integral es compacto

Lema: Deja$X,Y$sean espacios de Banach. Si$T_n:X\to Y$son operadores acotados con rango de dimensión finita y$T_n\to T\in B(X,Y)$en la norma del operador, entonces$T$es un operador compacto.

Para el caso$X=Y=L^p$,$1< p\le\infty$, escribiremos$T$como un límite de norma de operadores de rango finito y deducir la compacidad de$T$por el lema anterior.

Dejar$n>1$ser un entero y dividir el intervalo$[0,1]$en$n$subintervalos de igual longitud, a saber$I_{j,n}:=[\frac{j-1}{n},\frac{j}{n})$,$j=1,\dots,n$. Dejar$\phi_{j,n}$denota la función indicadora de$I_{j,n}$. Colocar

$$T_n:L^p[0,1]\to L^p[0,1], \;\;\;T_n(f)=\sum_{j=1}^n\bigg(\int_0^{\frac{j}{n}}f(t)dt\bigg)\cdot\phi_{j,n}$$ Tenga en cuenta que el operador$T_n$tiene automáticamente un rango dimensional finito, ya que$T_n(f)$se encuentra en el tramo lineal de las funciones$\{\phi_{j,n}:j=1,\dots,n\}\subset L^p[0,1]$. También,

para$x\in[0,1]$existe un unico$j_x\in\{1,\dots,n\}$tal que$x\in I_{j_x,n}$entonces$\phi_{i,n}(x)=1$si y solo si$i=j_x$. Entonces

$$|T_n(f)(x)|^p=\bigg|\sum_{j=1}^n\bigg(\int_0^{\frac{j}{n}}f(t)dt\bigg)\cdot\phi_{j,n}(x)\bigg|^p=\bigg|\int_0^{\frac{j_x}{n}}f(t)dt\bigg|^p\le\bigg(\int_0^1|f(t)|dt\bigg)^p\le\|f\|_p^p$$

donde en la última desigualdad hemos usado el hecho de que$\|f\|_1\le\|f\|_p$para$f\in L^p[0,1]$. De este modo

$$\|T_n(f)\|_p^p=\int_0^1|T_n(f)(x)|^pdx\le\int_0^1\|f\|_p^pdx=\|f\|_p^p$$ y por lo tanto$\|T_n\|\le1$, entonces$T_n$son de hecho operadores acotados con rango finito.

Ahora mostramos que$\|T_n-T\|_p\to0$. De hecho, tenemos

$$|T_n(f)(x)-T(f)(x)|^p=\bigg|\sum_{j=1}^n\int_0^{\frac{j}{n}}f(t)dt\cdot \phi_{j,n}(x)-\int_0^xf(t)dt\bigg|^p=$$ $$=\bigg|\int_0^\frac{j_x}{n}f(t)dt-\int_0^xf(t)dt\bigg|^p\;\;(\star)$$ dónde$j_x\in\{1,\dots,n\}$es el único entero tal que$x\in I_{j_x,n}$(y la igualdad anterior ocurre porque$\phi_{j_x,n}(x)=1$y$\phi_{i,n}(x)=0$para$i\ne j_x$). Continuando desde$(\star)$, si denotamos por$q$el exponente conjugado$(1/p+1/q=1)$, tenemos $$(\star)=\bigg|\int_x^{\frac{j_x}{n}}f(t)dt\bigg|^p\le\bigg|\int_0^1\chi_{I_{j_x,n}}(t)f(t)dt\bigg|^p\le$$ $$\le\bigg(\int_0^1\chi_{I_{j_x,n}}(t)\cdot|f(t)|dt\bigg)^p\le\bigg(\mu(I_{j_x,n})^{1/q}\cdot\|f\|_p\bigg)^p=\frac{1}{n^{p/q}}\cdot\|f\|_p^p$$ donde usamos la desigualdad de Holder. Por lo tanto, $$\|T_n(f)-T(f)\|_p^p=\int_0^1|T_n(f)(x)-T(f)(x)|^pdx\le\int_0^1\frac{1}{n^{p/q}}\cdot\|f\|_p^pdt=\frac{1}{n^{p/q}}\cdot\|f\|_p^p$$ y por lo tanto$\|T_n-T\|_p\le\frac{1}{n^{1/q}}$. Alquiler$n\to\infty$da$T_n\to T$.

PD: ¿Por qué es razonable definir los operadores?$T_n$la forma en que lo hicimos? Primero, necesitamos que tengan un rango dimensional finito. En segundo lugar, miramos$T(f)(x)=\int_0^xf(t)dt$. Este es un número muy cercano a$\int_0^{j/n}f(t)dt$para algunos adecuados$j,n$. Entonces se siente natural dividir el intervalo unitario en pequeños intervalos de longitud$1/n$y definir$T_n(f)$por la regla "toma una$x$, determinar en qué pequeño intervalo se encuentra (es decir, encontrar el$j_x$), luego asigne el valor$\int_0^{j_x/n}f(t)dx$. Implícitamente hemos estado multiplicando con$\phi_{j,n}$y sumando, para asegurarnos de que finalmente obtuvimos la correcta$j_x$. Espero que esto te ayude a entender el razonamiento aquí.