¿Cómo cambiar las coordenadas de esta métrica?

Question

GBD

Estoy tratando de hacer un cambio de coordenadas a la métrica.

usando las coordenadas

lo que tengo es

Sin embargo, en arXiv:gr-qc/0001037 el autor obtuvo la métrica

¿Alguien sabe dónde está el factor de $2$ en el coeficiente de $du \,dl$ ¿viene de?

Lo que hice para obtener el coeficiente del segundo término es usar

- \frac{1}{F (r)} d r^{2} = - \frac{1}{F (r)} \frac{\partial r}{\partial tu} \frac{\partial r}{\partial yo} d tu d yo = - \frac{1}{{yo}^{2}} d tu d yo

$-\frac{1}{f(r)}dr^{2}=-\frac{1}{f(r)}\frac{\partial r}{\partial u}\frac{\partial r}{\partial l}du\,dl=-\frac{1}{l^{2}}du\,dl$

¿Estoy usando la ecuación incorrecta?

AV23 · Answer 1

El $r$ coordenada es una función de ambos $u$ y $l$ , resultando en la siguiente expresión para $dr$ ,

d r = \frac{\partial r}{\partial tu} d tu + \frac{\partial r}{\partial yo} d yo

$dr = \frac{\partial r}{\partial u}du + \frac{\partial r}{\partial l}dl$

Tenga en cuenta que $\frac{\partial r}{\partial u} = 0$ (puntos con el mismo valor de $l$ tienen el mismo valor de $r$ ). Entonces tenemos:

d r = \frac{\partial r}{\partial yo} d yo

$dr = \frac{\partial r}{\partial l}dl$ enchufando

\frac{\partial r}{\partial l} = - \frac{1}{\sqrt{2} l^{2}}

$\frac{\partial r}{\partial l} = -\frac{1}{\sqrt{2}l^2}$ ,

d r = - \frac{1}{\sqrt{2} {yo}^{2}} d yo

$dr = -\frac{1}{\sqrt{2} l^2}dl$

Ahora podemos ver cómo transformar la métrica, ignorando la parte angular:

d s^{2} = F (r) d t^{2} - \frac{1}{F (r)} d r^{2}

$ds^2 = f(r)dt^2 - \frac{1}{f(r)}dr^2$

d s^{2} = 2 F (r) (\frac{d t - \frac{1}{F (r)} d r}{\sqrt{2}}) (\frac{d t - \frac{1}{F (r)} d r + 2 \frac{1}{F (r)} d r}{\sqrt{2}})

$ds^2 = 2f(r)\left(\frac{dt - \frac{1}{f(r)}dr}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{dt-\frac{1}{f(r)}dr + 2\frac{1}{f(r)}dr}{\sqrt{2}}\right)$

Reconociendo que

d tu = \frac{d t - \frac{1}{F (r)} d r}{\sqrt{2}}

$du = \frac{dt - \frac{1}{f(r)}dr}{\sqrt{2}}$

⟹ d s^{2} = 2 F d tu (d tu + \sqrt{2} \frac{1}{F} (- \frac{1}{\sqrt{2} {yo}^{2}} d yo))

$\implies ds^2 = 2f\ du\left(du + \sqrt{2}\frac{1}{f}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}l^2}dl\right)\right)$

Esto da el resultado del enlace.

d s^{2} = 2 F d {tu}^{2} - \frac{2}{{yo}^{2}} d tu d yo

$ds^2 = 2f\ du^2 - \frac{2}{l^2}du\ dl$

También tenga en cuenta que $f$ ahora es puramente una función de $l$ .