Comprender la diferencia entre separaciones temporales y espaciales

Los intervalos de tiempo son una distancia pequeña y un tiempo largo. Por ejemplo, un evento es aquí y ahora. Un segundo evento está a 1 m de distancia y 1 segundo después.

Si viaja a ~1 m/s en la dirección correcta, puede pasar por ambos eventos. En ese cuadro, la separación es puramente temporal: aquí y ahora, aquí y ~1 segundo después. Cualquier separación temporal puede reducirse a una separación temporal pura de esta manera.

Se vuelve un poco contrario a la intuición a velocidades más altas. Puede ignorar la dilatación del tiempo y la contracción del espacio a 1 m/s. Para una separación de 0,8 segundos luz y 1 segundo, alguien aún podría viajar a través de ambos eventos. Pero tendrías que calcular la separación de tiempo y distancia que vio el viajero.

Las separaciones similares a la luz están separadas por igual por el tiempo y la distancia. Por ejemplo, el evento es aquí y ahora. El otro está a 1 segundo luz de distancia y 1 segundo después. No puedes viajar a la velocidad de la luz, por lo que no puedes reducir esto a una pura separación de tiempo. Un rayo de luz puede atravesar ambos eventos.

Una separación similar al espacio es una distancia larga y un tiempo corto. Un ejemplo es aquí y ahora, y un evento a 1 segundo luz de distancia y 0,8 segundos a partir de ahora. Nada puede pasar por ambos eventos.

Pero aquí se vuelve realmente contrario a la intuición. Estamos acostumbrados a la idea de que yo veo dos lugares en diferentes momentos, mientras que un viajero que pasa por ambos los ve como el mismo lugar en diferentes momentos.

No estamos acostumbrados a la idea de que un viajero pueda elegir una velocidad que haga que los dos eventos sean simultáneos. Pero el tiempo funciona así. Cualquier separación similar al espacio puede reducirse a una separación puramente espacial, dos eventos simultáneos, eligiendo la velocidad adecuada.

Intentaré volver a describir las mismas ideas de una manera diferente. Esto no pretende ser una respuesta rápida a la pregunta; más bien, esto pretende ser un recurso para ayudar a desarrollar algo de intuición.

En esta respuesta, la palabra "marco" no se usa. Eso es porque "marco" puede tener connotaciones de algo rígido, algo definido por "ejes". Esta respuesta se expresa utilizando el concepto más general de un sistema de coordenadas, que no se basa en nada como ejes o líneas rectas.

Las coordenadas son etiquetas arbitrarias para los puntos en el espacio-tiempo. Deben asignar una tupla única de 4 números$(w,x,y,z)$a cada punto, y deben hacerlo de forma suave , pero por lo demás son arbitrarios. Cualquier línea de tiempo (curva en el espacio-tiempo) se puede describir dando las cuatro coordenadas como funciones de algún otro parámetro$\lambda$que corre a lo largo de la línea del mundo. Los ejemplos se muestran a continuación, después de los principios generales.

Matemáticamente, los sistemas de coordenadas y las líneas de mundo se definen sin la ayuda de ningún concepto geométrico como el tiempo, la distancia, el tiempo o el espacio, y sin la ayuda de ningún concepto dinámico como la caída libre. La geometría (incluido el tiempo) y la caída libre están definidas por la métrica. Una forma conveniente de especificar la métrica es especificando el elemento de línea . El elemento de línea toma cualquier$\lambda$-línea mundial parametrizada como entrada y devuelve una sola función$G(\lambda)$como salida. En relatividad especial, el elemento de línea se puede expresar como

$$G(\lambda) = \dot w^2 - (\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2) \tag{1}$$ donde un punto denota una derivada con respecto al parámetro$\lambda$a lo largo de la línea de tiempo dada. La linea del mundo se llama

• temporal donde sea$G(\lambda)>0$,

• como un espacio donde sea$G(\lambda)<0$,

• como la luz donde sea$G(\lambda)=0$.

Una línea de tiempo se llama causal si es similar al tiempo o similar a la luz. El principio de causalidad dice que solo una línea de tiempo causal puede representar la historia de un objeto físico. El tiempo propio se define sólo a lo largo de tal línea de tiempo. Dada cualquier línea temporal causal, es el momento adecuado$\tau(\lambda)$se define por la condición

$$\dot\tau^2 = G(\lambda) \geq 0. \tag{2}$$ Esto nos dice cómo el momento adecuado$\tau$progresa a lo largo de la línea de tiempo como una función del parámetro$\lambda$.

En retrospectiva, ahora que se ha especificado el elemento de línea (1), vemos que una línea de palabras no puede ser temporal a menos que$w$cambia monótonamente a lo largo de la línea del mundo. En este sentido, podemos pensar en$w$como una coordenada "temporal", pero sigue siendo solo una coordenada. El tiempo adecuado viene dado por la ecuación (2), y esto es lo que un objeto realmente experimenta como tiempo. El tiempo adecuado es específico para la línea de tiempo dada y es invariable bajo los cambios del sistema de coordenadas.

Si la cantidad (1) es negativa, entonces tenemos una línea de mundo espacial. El tiempo apropiado no está definido a lo largo de tal línea de tiempo. Los objetos físicos, incluidos los relojes, no pueden moverse de acuerdo con esa línea de tiempo, por lo que no deberíamos esperar tener una noción invariable de la progresión del tiempo a lo largo de esa línea de tiempo. Lo que tenemos en cambio para tal línea de tiempo es la distancia adecuada$\ell$, dada por la condición

$$\dot\ell^2 = -G(\lambda) > 0. \tag{3}$$

Se dice que dos puntos en el espacio-tiempo están "separados como en el tiempo" si pueden estar conectados entre sí por alguna línea del mundo temporal, y se dice que están "separados como en el espacio" si no pueden conectarse entre sí por ninguna línea del mundo causal. El concepto de eventos "separados como en el espacio" es una extensión del concepto de eventos "simultáneos". Los eventos separados en forma de espacio no pueden ordenarse en el tiempo de ninguna manera invariable.

Por cierto, incluso si dos puntos están separados en el tiempo (lo que significa que uno de los puntos está inequívocamente en el futuro del otro), aún pueden estar conectados entre sí por una línea de tiempo similar al espacio. El siguiente par de ejemplos ilustra esto.

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Ejemplo 1

Elige constantes$A,B,C$y considere la línea de tiempo dada por

$$w(\lambda)=A\lambda \hskip1cm x(\lambda)=B\lambda+C \hskip1cm y(\lambda)=0 \hskip1cm z(\lambda)=0. \tag{4}$$ Entonces $$\dot w = A \hskip1cm \dot x = B \hskip1cm \dot y = 0 \hskip1cm \dot z = 0, \tag{5}$$ entonces$G(\lambda)=A^2-B^2$, que es independiente de$\lambda$en este sencillo ejemplo. Esta línea de tiempo es:

• temporal si$A^2>B^2$, y luego la ecuación (2) da$\tau(\lambda) = \sqrt{A^2-B^2}\,\lambda$para el tiempo apropiado a lo largo de esta línea de tiempo.

• espacial si$A^2<B^2$, y luego la ecuación (3) da$\ell(\lambda) = \sqrt{B^2-A^2}\,\lambda$para la distancia adecuada a lo largo de esta línea de tiempo.

• ligero como si$A^2=B^2$, y entonces el tiempo apropiado y la distancia apropiada son ambos cero a lo largo de esta línea de tiempo.

Para la métrica especial definida por (1), una línea de tiempo similar al tiempo (o similar a la luz) corresponde a una caída libre si y solo si las derivadas$(\dot w,\dot x,\dot y,\dot z)$son todas proporcionales entre sí. En particular:

• La línea de mundo definida por (4) representa la caída libre si$A^2\geq B^2$.

• Si$A^2<B^2$, entonces no representa ningún movimiento físicamente posible.

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Ejemplo 2

Considere la línea de tiempo definida por

$$\begin{align} w(\lambda) &= \lambda + \lambda^3 \\ x(\lambda) &= \cos(\beta\lambda + \beta\lambda^3) \\ y(\lambda) &= \sin(\beta\lambda + \beta\lambda^3) \\ z(\lambda) &= 0. \tag{6} \end{align}$$ dónde$\beta$es una constante Para cada valor de$\lambda$, estas ecuaciones especifican las coordenadas de un punto en la variedad de cuatro dimensiones, por lo que definen una línea de mundo. Enchufe (6) en (1) para obtener $$G(\lambda)=(1-\beta^2)(1+3\lambda^2)^2. \tag{7}$$

• Si$\beta^2<1$, entonces esta línea de tiempo es temporal, y luego la ecuación (2) dice que su tiempo propio está dado por

  $$\tau(\lambda)=\sqrt{1-\beta^2}\,(\lambda+\lambda^3). \tag{8}$$ Esto nos dice cómo el momento adecuado$\tau$progresa a lo largo de la línea de tiempo como una función del parámetro$\lambda$. La ecuación (8) es independiente de las coordenadas, como debe ser; el tiempo propio es invariante bajo transformaciones de coordenadas.

• Si$\beta^2>1$, entonces esta línea de tiempo es similar al espacio. Nótese, sin embargo, que esta línea de tiempo similar al espacio pasa por todos los puntos$(w,x,y,z)=(2\pi\,n/\beta,1,0,0)$para todos los enteros$n$, y estos puntos también están todos contenidos en la línea temporal temporal (4) con$A=1$,$B=0$, y$C=1$. (Los parametros$\lambda$de las dos líneas de tiempo no son lo mismo; el símbolo$\lambda$fue reciclado.) Esto muestra que la línea de tiempo (6) con$\beta^2>1$es un ejemplo de una línea de tiempo espacial que conecta algunos puntos separados por el tiempo.

Esto es simplemente porque el intervalo$ds^2$es invariante, por lo que podemos calcularlo en cualquier marco que queramos. Así que si$ds^2$es temporal, podemos ir a un sistema$(t', x', y', z')$en el que la línea de mundo de A a B está en reposo, y este sistema de coordenadas que tenemos

$$ds^2 = dt'^2,$$

ya que el desplazamiento espacial es cero. De manera similar, si la separación es espacial, podemos ir a un sistema en el que A y B están al mismo tiempo, entonces$dt'$desaparece del intervalo.

Para una apreciación precisa hay que tener en cuenta que los intervalos temporales y los intervalos espaciales tienen fundamentos diferentes. El tiempo no es espacio, y la simetría del tiempo y el espacio se limita a la simetría de Lorentz. En consecuencia, debe apreciar los intervalos de tipo temporal y los intervalos de tipo espacial por separado:

Los intervalos temporales son intervalos de tiempo debido a los fenómenos del tiempo propio y la dilatación del tiempo.

Por el contrario, la consideración de los intervalos similares al espacio como intervalos espaciales es un mero modelo que satisface la suposición de que el espacio-tiempo es una multiplicidad, pero no existe el mismo tipo de derivación estricta que para el tiempo propio.

1.Intervalos temporales: las líneas de mundo de partículas son intervalos temporales y consisten en intervalos de tiempo adecuados dτ. Eso significa que, en el marco de referencia de la partícula, los intervalos son intervalos de su propio tiempo (tiempo propio dτ). Además, según el marco de referencia de la partícula, la partícula no se mueve en absoluto, sus coordenadas espaciales son siempre coordenadas nulas porque es su propio marco de referencia.

En contraste, los observadores están observando una partícula en movimiento. La coordenada de tiempo observada es dt, correspondiente al "tiempo propio dilatado en el tiempo". Como la partícula se mueve desde el punto de vista de todos los observadores con otros marcos de referencia, existe una coordenada espacial.

Eso significa, a la inversa, que a partir de una coordenada de tiempo y espacio dada de la línea de tiempo de una partícula, puede recuperar el tiempo propio correspondiente de la partícula. Como los intervalos temporales corresponden al tiempo propio de una línea de tiempo, no hay problema en entender que los intervalos temporales tienen carácter temporal.

2. La situación es diferente y más complicada para los intervalos espaciales. El límite de velocidad del espacio-tiempo es c, y por esta razón no hay líneas de tiempo similares al espacio. Esto implica también que la dilatación del tiempo no puede funcionar para líneas de mundo similares al espacio que se explicaron anteriormente 1) la fusión entre las coordenadas del tiempo y el espacio.

Por otro lado, las distancias se miden por intervalos espaciales 3D, no por intervalos espaciales 4D. La distancia entre el Sol y la Tierra es siempre (aproximadamente) 8 minutos luz, incluso si consideramos el Sol hace 4 minutos y la Tierra ahora. Podemos llamar a esta distancia "8 minutos luz + 4 minutos" o "intervalo de espacio + intervalo de tiempo", pero no obtenemos una distancia simple como intervalo de espacio.

Como describió en su pregunta: los intervalos en forma de espacio al cuadrado son negativos. Así obtenemos resultados imaginarios para distancias espaciales de intervalos similares al espacio. Misner/ Thorne/ Wheeler, Gravitation, intentaron reparar este defecto por medio de la firma (-,+,+,+), pero hasta el día de hoy este concepto no ha encontrado aceptación general, y especialmente en física de partículas este concepto no parece corresponder a las necesidades experimentales.

Entonces, como consecuencia, la consideración de los intervalos espaciales como distancias es un mero modelo, y este modelo no tiene el mismo fundamento físico que los intervalos temporales. Si sigue la firma (-,+,+,+), este defecto se oculta por el hecho de que los intervalos de espacio al cuadrado son positivos y los intervalos de espacio son reales de la misma manera que las distancias en 3D. Según este modelo, los intervalos espaciales pueden considerarse como "distancias espaciales que se corrigen mediante una coordenada de tiempo". Pero exactamente tal corrección puede justificarse físicamente para los intervalos de tipo temporal como se muestra arriba 1), pero para los intervalos de tipo espacial no existe tal justificación.

En resumen, en cuanto abandonas la firma (-,+,+,+), surge tu duda. Y la respuesta en definitiva es que se utiliza un modelo para satisfacer la intuición humana, ni más ni menos.