¿Cómo supera Popper esta crítica?

Supongamos que P y Q son teorías falsables (en el sentido popperiano). Entonces me parece que 'P y Q' es una teoría falsable (podemos refutarla refutando A, o refutando B), y también lo es 'P o Q' (podemos refutarla refutando tanto A como B ). Sin embargo, me parece que, incluso si P y Q son teorías falsables, la oración 'si P, entonces Q' no necesita serlo.

Eso es un poco raro, porque por ejemplo la afirmación "si P y Q, entonces Q" es una tautología lógica. Por lo tanto, es claramente cierto. Pero una lectura ingenua de Popper parece sugerir que, para la mayoría de las elecciones de P y Q, esta afirmación es infalsable y, por lo tanto, no científica.

¿Cómo superar esta crítica desde un punto de vista popperiano?

¿Es P indemostrable? Si P puede demostrarse, entonces 'si P entonces Q' no es infalsable. Se puede falsificar demostrando un caso en el que se demuestra P pero se refuta Q.
¿Qué quieres decir con 'si P entonces Q'?
¿Quieres decir que es raro que una tautología lógica no sea falsable?
@KenB: ¿Existen teorías empíricas demostrables?

Respuestas (1)

Si las teorías P y Q son falsables , entonces:

(1) existe un conjunto finito de oraciones de observación Γ tal que ¬ P es una consecuencia lógica de Γ,
(2) existe un conjunto finito de oraciones de observación Σ tal que ¬ Q es una consecuencia lógica de Σ.

Hecho 1. Si P es falsable, entonces (P ∧ Q) también es falsable, para cualquier teoría Q.

Prueba. Supongamos que P es falsable. Entonces, por (1), existe algún Γ que implica ¬ P. Pero como Γ implica ¬ P, también implica (¬ P ∨ ¬ Q), que es lógicamente equivalente a ¬ (P ∧ Q ). ■

Problema 2. Si P es falsable, entonces (P ∨ Q) también es falsable, para cualquier teoría falsable Q?

Observación. Creo que la falsabilidad de (P ∨ Q) no se deriva de la falsabilidad de P y Q, pero hasta ahora mis intentos de demostrarlo han fallado (ver Actualizaciones, 3 de septiembre). Otra forma de formular el problema es esta: a partir de la existencia de falsadores para P y Q, ¿podemos inferir la existencia de un falsador para (P ∨ Q)? Para probar esto, será suficiente mostrar que: la unión de modelos falsadores para P y Q es un modelo falsador para (P ∨ Q). La dificultad aquí, como lo señala Miracle173 , es que no sabemos si el conjunto resultante es consistente, por lo que no podemos inferir que existe tal modelo combinado.

Hecho 3. Incluso si P y Q son falsables, (P → Q) no tiene por qué serlo.

Prueba. Considere un modelo con solo dos mundos w y v st w satisface ¬ P y v satisface (¬ P ∧ ¬ Q). Aquí, P se falsea en todos los mundos, Q se falsea por v, pero (P → Q) ≡ (¬ P ∨ Q) no se falsea por ninguno de los mundos, porque ninguno de los mundos satisface a ambos (P y ¬ Q). ■

Los hechos 1 y 3 ayudan a establecer dos de las tres afirmaciones que hizo en el párrafo 1. Su última afirmación, que quedó en segundo lugar en su primer párrafo, se convierte aquí en una pregunta (Problema 2). Creo que se resolverá negativamente, pero eso está por verse. Si encuentra la respuesta, por favor deje un comentario.

Apéndice. Me gustaría ofrecer dos observaciones más que ayudarán a abordar directamente la crítica:

Hecho 4. Las tautologías no son falsables. (¡ y eso es bueno! )

Prueba. Tome una tautología arbitraria s. Si s es falsable, entonces (según las definiciones 1 y 2 anteriores) existe un conjunto de oraciones de observación Γ tal que ¬ s es una consecuencia lógica de Γ. Pero como s es una tautología, ¬s es una contradicción, y por lo tanto Γ implica una contradicción, es decir, es inconsistente. Pero Γ es un conjunto de oraciones de observación, por lo que no puede ser inconsistente. Por lo tanto: s no es falsable. Y dado que s era arbitrario, hemos demostrado que ninguna tautología es falsable. ■

Hecho 5. Las contradicciones son falsables. ( No es que alguien no estuviera claro acerca de esto )

Prueba. Tome una contradicción arbitraria s. Dado que s es una contradicción, ¬s es una tautología, por lo que es una consecuencia lógica de cualquier oración. Tome un conjunto arbitrario de oraciones de observación Γ. De las dos oraciones anteriores sabemos que: ¬ s es una consecuencia lógica de Γ. Dado que ¬ s es una consecuencia lógica de un conjunto de oraciones de observación (es decir, Γ), sabemos que s es falsable. Y como s era arbitrario, hemos demostrado que todas las contradicciones son falsables. ■

Que el criterio de Popper no entre en conflicto con los Hechos 4 y 5 es algo bueno. Está bien si las tautologías no son falsables y está bien decir que no son "científicas". ¿Es "2 + 2 = 4" científico? No, porque para resolverlo no hace falta apelar en absoluto a la observación. Solo las declaraciones empíricas o sintéticas pueden ser falsificadas (y por lo tanto ser "científicas"). El criterio de demarcación propuesto por Popper intenta diferenciar los enunciados sintéticos "científicos" buenos de los enunciados sintéticos "no científicos" malos.

Actualizaciones

  • 3 de septiembre de 2013 La discusión de hoy con Ken B me convenció de que mis intentos de resolver el Problema 2 negativamente han fallado, por lo que lo propongo como una pregunta abierta. Para soluciones por favor deje un comentario.
  • 30 de agosto de 2013 La revisión de hoy fue necesaria debido a las importantes críticas de Miracle173 . El OP ya había apuntado en esa dirección (¡hace 10 días!), así que muchas gracias a ambos por sus críticas.
  • 29 de agosto de 2013 Gracias al editor anónimo por las correcciones y mejoras.

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1) En Fact2 no dices nada sobre la posibilidad de que Gamma y Sigma se contradigan. En la prueba de Fact3 es esencial para ti que el conjunto finito de observaciones no se contradiga.
2) En un comentario anterior dices que "El hecho 3 muestra que un mundo que falsifica P y Q no puede falsificar (P --> Q)". Pero el Hecho 3 dice más. Si hay un mundo que falsifica P y otro mundo que falsifica Q entonces puede haber otro mundo que falsifica (P & Implica; Q).
3) Tu prueba de Fact3 me parece extraña. Lo derivas de "si P es falsable, entonces Not P no es falsable". ¿Es esta frase cierta? Para mí no es evidente que Θ &Unión; &Gama; tiene que ser consistente. ¿Por qué deberían? Consistentes aquí significa que no implican una contradicción.
@miracle173, usuario18921, muchas gracias por las críticas.
Este procesamiento formal de la falsabilidad es nuevo para mí y hay algunas cosas que no me quedan claras, por ejemplo, qué se entiende exactamente por "teoría" y, por lo tanto, no entiendo con precisión ni la definición de "falsable" ni expresiones como ''si P entonces Q''. En tu demostración me parece que P, Q... son oraciones simples. ¿Es posible que cites algunas referencias accesibles en internet?
@miracle173 Las teorías son conjuntos de oraciones . Podemos decir que la teoría T es falsable si y sólo si alguna oración S en T es falsable. Las definiciones (1-2) son realmente solo para oraciones, pero con esa equivalencia, todo lo que se diga de las oraciones también se aplicará a las teorías de las que son miembros. En cuanto a las referencias, estas definiciones anteriores son solo la forma general de pensar sobre la lógica de la falsabilidad (ver el artículo de SEP sobre Popper, sección 3; y cualquier cosa sobre el tema de los empiristas lógicos).
Si las teorías P y Q son conjuntos de oraciones, ¿cómo se define el conjunto P # Q , donde # es una operación como y , o , -> ? Supuse por P # Q = { p #q, donde p de P y q de Q} . Pero entonces las identidades simples como P= P y P ya no son válidas. Entonces, ¿cómo se define P # Q ?
Cuando dije "todo lo que se diga de las oraciones también se aplicará a las teorías de las que son miembros" no estaba hablando con cuidado; lo que quería decir es que ciertas cosas verdaderas de las oraciones pueden decirnos cosas sobre las teorías de las que son miembros. Por ejemplo, si s en P es falsable, entonces P es falsable. Pero entonces, si s en P no es falsable, no podemos concluir que P no es falsable. Para simplificar las cosas, solo quería evitar hablar de teorías y oraciones. Avísame si todavía quieres preguntar sobre el significado de las oraciones de la forma P # Q donde # es un conectivo y P,Q son conjuntos.
sin una definición de las operaciones sobre las teorías , la prueba no tiene ningún sentido porque términos como (P -> Q) no tienen ningún significado.
En mi respuesta, solo estoy hablando realmente de oraciones, asumiendo que lo que se dice también se puede extender a las teorías. Con la suposición de que las teorías son conjuntos de oraciones, tiene razón, las operaciones de oraciones en conjuntos obviamente no están definidas. Dos soluciones: (i) definir una función [X] de conjuntos a oraciones (que consiste en una conjunción de miembros de X) e interpretar (P # Q) como ([P] # [Q]), o (ii) interpretar ' and' y 'not' para conjuntos como conjunto-intersección y complemento. Iría con (i), pero (ii) también podría funcionar (tengo que resolverlo para estar seguro).
@HunanRostomyan En su refutación de Claim2, demuestra un solo caso en el que PvQ no está falsificado , pero falsificado no es lo mismo que falsable . Parece que la afirmación, "(PvQ) es falsificable", es claramente cierta si P y Q son cada uno falsificable de forma independiente, por la simple razón dada por el OP: si falsifica P y falsifica Q, entonces PvQ es, por definición , falsificado . ¿Me estoy perdiendo de algo? Claim2 parece intuitivamente cierto, y su refutación parece tangencial y sin relación. ¿Dónde estoy confundido?
@KenB Gracias Ken, pero aquí está la idea detrás de esto: P v Q es falsable si existe un modelo en el que algún mundo satisface ~ P y ~ Q. Cuando sabemos que P y Q son falsables, todo lo que sabemos es que (a) existe un modelo donde algún mundo satisface ~P, y (b) existe un modelo donde algún mundo satisface ~Q. De (ab) no podemos sacar la conclusión de que (c) existe un modelo donde algún mundo satisface ~P y ~Q. Consideré brevemente la posibilidad de construir el modelo de (c) tomando la unión de los modelos (ab), pero ¿qué garantiza que el modelo combinado sea consistente?
Pregunta honesta en un intento de aprender más sobre un tema en el que soy menos que un experto: su definición dada de falsabilidad parece específica para un sistema particular de lógica modal. ¿Con qué sistema lógico estás trabajando aquí? O tal vez, ¿quién estableció esta definición y dónde podría leer más? Intuitivamente, no estoy de acuerdo con eso, pero imagino que lo estaría si lo entendiera mejor. ¿Cómo es útil para un argumento decir que algo es falsable solo si decido o imagino que existe un mundo donde es falso?
La falsabilidad, como la satisfacibilidad, se trata de posibilidades , por lo que una lógica de fondo natural para la lógica de la falsabilidad es la lógica modal. Tengo en mente K , pero tampoco estoy en contra de la aplicación de lógicas más débiles o más fuertes. (Esta definición particular, (1-2) anterior, por lo que recuerdo, se remonta a Hempel o Ayer.) Decir que algo es falsable es exactamente lo mismo que decir que su negación es satisfecha, es decir, si puedes concebir un mundo en un modelo que hace verdadera su negación.
@KenB ¿Cómo te sientes acerca del hecho de que la falsabilidad de P v Q implica la falsabilidad tanto de P como de Q? (Esto es lo contrario de la Afirmación 2.) ¿Te suena bien, intuitivamente? (Desde este punto de vista, es un hecho porque un mundo que satisface ~P y ~Q satisface ~P y satisface ~Q, por lo que falsea tanto P como Q).
@HunanRostomyan Ciertamente ~(PvQ) implica (~P)^(~Q); eso es solo la ley de DeMorgan. No tengo ningún problema con eso. Pero si te entiendo correctamente, el contraejemplo sería una situación en la que ~P y ~Q se contradicen entre sí o están relacionados de tal manera que ningún mundo podría existir en el que ~P^~Q sea verdadero. ¿Es eso exacto?
Es un poco más complicado que eso. Mire (a, b, c) algunos comentarios anteriores. Todo lo que podemos decir es que ~P se satisface en algún mundo w y ~Q en algún mundo v, posiblemente w != v. La afirmación 2 dice que de este hecho podemos inferir que algún mundo u satisface tanto ~Q como ~ P . Pero es posible que exista un falsificador de P v Q, pero el argumento incluido en la Afirmación 2 es simplemente inválido : porque la existencia de un falsificador de P v Q no se sigue de la existencia de falsificadores de P y de Q. Puedo No se me ocurre ningún argumento que reivindique la Reclamación 2, así que si se te ocurre uno, házmelo saber.
@KenB He actualizado mi respuesta; gracias por tus comentarios.
¿Cómo supera Popper esta crítica?
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