¿Cómo se relaciona el teorema del trabajo y la energía con la primera ley de la termodinámica?

El teorema de la energía del trabajo (en mecánica clásica) es más general de lo que usted describe, se aplica a cualquier sistema de partículas, incluso cuerpos deformables que interactúan a través de fuerzas instantáneas, siempre que se tenga en cuenta el trabajo de todas las fuerzas, incluido el trabajo de las fuerzas internas. Podemos formular el teorema así:

La suma total del trabajo de todas las fuerzas, externas e internas, en un sistema de muchas partículas, es igual al cambio en su energía cinética.

Si no tomamos en cuenta el trabajo de las fuerzas internas, como cuando el cuerpo es deformable pero ignoramos el trabajo de la fuerza debido a una parte del cuerpo en la otra parte, entonces el teorema del trabajo y la energía no se cumple.

La primera ley de la termodinámica es similar al teorema del trabajo y la energía, pero no es "más general". Esto se debe a que 1) se trata de sistemas termodinámicos, no de sistemas mecánicos; 2) se refiere al concepto de energía interna , que no incluye la energía cinética mecánica pero sí la energía potencial mecánica; 3) dice algo muy diferente sobre la energía interna de lo que dice el teorema trabajo-energía sobre la energía cinética. Podemos formular la 1ª ley así:

Para cualquier cuerpo existe una función de energía interna$U$de estado de equilibrio$X$que puede cambiar a través de la transferencia de calor$\Delta Q$o transferencia de trabajo$\Delta W$con los cuerpos circundantes; dado que el efecto de la transferencia de calor se puede lograr igualmente mediante una cantidad equivalente de transferencia de trabajo, usamos las mismas unidades tanto para el trabajo como para el calor :

$$\Delta U = \Delta W + \Delta Q.$$ Observe cómo la ley introduce una nueva cantidad, la energía interna. Esto es muy diferente del teorema del trabajo y la energía, que solo dice cuánto aumenta la energía cinética como resultado del trabajo.

Usted menciona la compresión del resorte.

El procedimiento para calibrar un resorte es el siguiente: se comprime el resorte y en todo el recorrido del resorte se mide la fuerza que ejerce. Eso genera un perfil de fuerza-desplazamiento. Para encontrar la energía potencial almacenada en un resorte para cualquier valor del desplazamiento, integre la fuerza sobre la distancia, usando el perfil que midió. Ese procedimiento es la manera de llegar a una expresión matemática de la energía potencial almacenada en un resorte.

El teorema del trabajo y la energía da una relación entre la fuerza que actúa sobre la distancia y el cambio de energía cinética.

$$\int_{s_0}^s F \ ds = \tfrac{1}{2}mv^2 - \tfrac{1}{2}mv_0^2 \qquad (1)$$

El teorema trabajo-energía es, como su nombre lo dice, un teorema, no una definición.

Para completar la derivación del teorema trabajo-energía

En el curso de la derivación se utilizarán las siguientes dos relaciones:

$$ds = v \ dt \qquad (11)$$

$$dv = \frac{dv}{dt}dt \qquad (12)$$

La integral para la aceleración desde un punto de partida.$s_0$a un punto final$s$

$$\int_{s_0}^s a \ ds \qquad (13)$$

Use (11) para cambiar el diferencial de ds a dt . Dado que se cambia el diferencial, los límites cambian en consecuencia.

$$\int_{t_0}^t a \ v \ dt \qquad (14)$$

Reordena el orden y escribe la aceleración.$a$como$\tfrac{dv}{dt}$

$$\int_{t_0}^t v \ \frac{dv}{dt} \ dt \qquad (15)$$

Use (12) para un segundo cambio de diferencial, nuevamente los límites cambian en consecuencia.

$$\int_{v_0}^v v \ dv \qquad (16)$$

Poniendo todo junto:

$$\int_{s_0}^s a \ ds = \tfrac{1}{2}v^2 - \tfrac{1}{2}v_0^2 \qquad (17)$$

combinando con$F=ma$da el teorema del trabajo-energía

$$\int_{s_0}^s F \ ds = \tfrac{1}{2}mv^2 - \tfrac{1}{2}mv_0^2 \qquad (18)$$