¿Cómo se pueden explicar la reflexión y la refracción clásica y microscópicamente?

Parece que lo que realmente está preguntando es respondido por el teorema de extinción de Ewald-Oseen.

https://en.wikipedia.org/wiki/Ewald%E2%80%93Oseen_extinction_theorem

La derivación canónica está en Born and Wolf.

Aunque dijiste que no estás interesado en el principio de Huygens, quiero agregar una nota sobre esta explicación. Necesitaré en mi respuesta la expresión del campo eléctrico de un dipolo radiante

$$\boldsymbol{\rm E}\left(\boldsymbol{r},t\right)=-\frac{\omega^{2}\mu_{0}p_{0}}{4\pi}\sin\theta\frac{e^{i\omega\left(\frac{r}{c}-t\right)}}{r}\hat{\theta}$$

Esta expresión supone que el dipolo oscila en el$\hat{z}$dirección. Ahora mira por ejemplo esta imagen

tomado de aquí . Esta ilustración parece descartar la polarización de la onda entrante (como dijiste), pero si lo piensas más, resulta que no. La radiación en el plano de incidencia es circular sólo para$s$-luz polarizada , ya que entonces cada dipolo está oscilando en el$z$dirección (dentro y fuera de la página) e irradiando un campo dado por

$$\boldsymbol{\rm E}\left(r,\theta=\frac{\pi}{2},\varphi,t\right)=-\frac{\omega^{2}\mu_{0}p_{0}}{4\pi}\frac{e^{i\omega\left(\frac{r}{c}-t\right)}}{r}\hat{z}$$

independiente de$\varphi$y$s$-polarizado también. Si por el contrario quieres tratar$p$-luz polarizada, entonces cada punto de la red debería irradiar como en esta imagen

tomado de aquí , y definitivamente tendrá otras consecuencias desde el$s$-dipolos polarizados. Un ejemplo popular es la existencia del ángulo de Brewster, que es el resultado de que el dipolo no radie sobre su eje de oscilaciones. Además, como antes, puedes ver que la polarización de la radiación de campo lejano es paralela a la dirección de las oscilaciones del dipolo. Esto significa que el$p$-Se mantiene la polarización.

Considere una onda de luz polarizada plana que incide sobre un vidrio. Las cargas dentro del vidrio oscilan de alguna manera, de modo que la onda original se cancela y se producen tanto una onda refractada como una reflejada.

Comenzamos con un montón de cargas que oscilan todas en la misma dirección (presumiblemente), y de alguna manera las cargas producen radiación en exactamente tres direcciones.

¿Es incorrecta la suposición de que todas las cargas en el plano oscilan en la misma dirección? ¿Ocurre algo diferente justo en la interfaz? De lo contrario, ¿cómo pueden las cargas que oscilan todas de la misma manera producir radiación en tres direcciones, en lugar de una, dos o infinitamente muchas?

Todos los osciladores oscilan en la misma dirección, lo sabemos por la teoría macroscópica donde la polarización tiene la misma dirección en todas partes.

El efecto neto parece ser cancelar la onda primaria en el medio y producir otra onda de diferente longitud de onda y dirección. (Pero este es solo un efecto aparente en la teoría macroscópica. No significa que los osciladores en el medio no experimenten fuerza debido a la onda primaria).

Esto también sucede solo en circunstancias especiales: un límite que es largo y suave; el medio es lo suficientemente denso, por lo que los osciladores están cerca uno del otro, por lo que la dispersión es limitada.

Si el límite fuera áspero o comparable en longitud a la longitud de onda, la radiación resultante probablemente sería mucho más compleja que dos ondas. Además, si el medio fuera gas o polvo de baja densidad, no habría una sola onda plana refractada, pero la radiación sería más difusa en todas las direcciones.

Sé que no te interesan las razones macroscópicas, pero son la explicación más fiable ya que no utilizan ningún modelo particular del medio. Son la información guía que se debe utilizar al configurar y analizar un modelo microscópico.

Las condiciones anteriores se traducen en detalles del modelo microscópico: los osciladores están ubicados en la mitad del espacio, están distribuidos con una densidad uniforme lo suficientemente alta como para que las distancias mutuas sean mucho más pequeñas que la longitud de onda; sus posiciones están limitadas por un límite plano.

No sé cómo analizar las interacciones mutuas de muchas partículas en esas condiciones y responder a la pregunta: ¿por qué en la descripción macroscópica la onda primaria no está presente y por qué la onda refractada tiene una longitud de onda y una dirección diferentes? Parte de la respuesta es encontrar una conexión razonable entre el campo microscópico y el campo macroscópico para este tipo de modelo, lo cual no es fácil (tienen diferentes longitudes de onda y el campo macroscópico tiene que imitar el campo de fuerza experimentado por los osciladores).

Pero es plausible que si los osciladores están lo suficientemente cerca y tienen una densidad uniforme (índice de refracción uniforme) y son excitados por una sola onda plana (onda primaria), entonces las ondas secundarias elementales se suman con fases aleatorias y tienden a cancelarse entre sí. excepto en una dirección, donde se reforzarán entre sí.

Es similar a cómo la difracción en rejillas especiales da como resultado que la radiación se transmita solo en ciertas direcciones, o a conjuntos de antenas sincronizadas en fase, que están diseñadas para irradiar en unas pocas (únicas) direcciones deseadas.

Como es típico para estos problemas, supongamos una solución y luego mostremos que satisface las ecuaciones de Maxwell. Tendremos la interfaz de vacío y un medio en el$x=0$avión. El campo eléctrico debe tomarse como

$$\vec{E}(\vec{r_{x<0}}, t) = \exp(i(k y \sin\theta - \omega \tau)) \left\{0, 0, \exp(i k x\cos\theta) + r \exp(-i k x\cos\theta) \right\}$$

es decir, la suma de la onda incidente y reflejada en el vacío. Del otro lado del límite estará

$$\vec{E}(\vec{r_{x>0}}, t) = \exp(-i \omega \tau) \left\{0, 0, \exp(i (x k_x + y k_y)\right\}$$

es decir, la onda refractada. El correspondiente$\vec{B}$los campos se encuentran fácilmente desde$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$.

$$\vec{B}(\vec{r_{x<0}}, t) = \frac{k}{\omega}\exp(i(k y \sin\theta - \omega \tau)) \times \\ \left\{(\exp(i k x \cos\theta) + r \exp(-ikx\cos\theta))\sin\theta , (-\exp(i k x \cos\theta) + r \exp(-ikx\cos\theta))\cos\theta, 0 \right\}$$

$$\vec{B}(\vec{r_{x>0}}, t) = \frac{1}{\omega}\exp(i(k_x x + k_y y - \omega \tau)) \left\{k_y t, k_x t, 0\right\}$$

Al hacer coincidir el$\vec{E}$campos en$x=0$encontramos$t=1+r$y$k_y = k \sin\theta$. Haciendo coincidir los campos magnéticos también encontramos

$$t = \frac{2k\cos\theta}{k_x + k\cos\theta}$$

Con un poco de inspección podemos darnos cuenta de que hemos llegado a una posible solución válida que consta de tres ondas y satisface las ecuaciones de Maxwell. Pero ¿por qué tiene que ser así? ¿Por qué no podemos tener$r=0, t=1, k_x=k \cos\theta$? Se da el vector de onda incidente (es decir,$\omega/k=c$y$\theta$se define).

Necesitamos relacionar el vector de onda dentro de un medio con la frecuencia y las propiedades del material. Un enfoque clásico dice que nuestro medio es una mezcla algo polarizable de portadores de carga negativa y positiva que pueden ser desplazados por un campo eléctrico, opcionalmente con fricción y una fuerza restauradora. Poniendo una ecuación para un oscilador armónico junto con dos de las ecuaciones de Maxwell obtenemos

$$k \vec{P} + \gamma \dot{\vec{P}} + m \ddot{\vec{P}} = q^2 \vec{E}$$

$$-\frac{\partial\vec{B}}{\partial x} = \mu_0 \dot{\vec{P}} + \dot{\vec{E}}/c^2$$

$$\frac{\partial \vec{E}}{\partial x} = -\dot{\vec{B}}$$

Dónde$q$es la densidad de carga efectiva (depende de la frecuencia, podrían ser los electrones de la capa, podrían ser los iones, etc.),$k, \gamma, m$son las constantes efectivas de resorte, amortiguamiento y masa normalizadas a la unidad de volumen. Encontrar la solución de estado estacionario de este conjunto de ecuaciones nos dará para un dado$\omega$un vector de onda que generalmente es diferente de$\omega/c$, entonces$k_x$generalmente será diferente de$k \cos\theta$y así, una solución para una onda incidente sobre una superficie necesitará necesariamente tanto una onda refractada como una reflejada.

No debería ser muy difícil reproducir esta lógica para un$p$onda polarizada.