¿Cómo se modelan las órbitas hiperbólicas?

Sí. (Parece que se trata de un problema de dos cuerpos, que tiene soluciones analíticas).

En primer lugar, dada la posición,$\vec{r}$, la velocidad,$\vec{v}$, tanto en un sistema de coordenadas con el cuerpo central en el origen en reposo, como el GM del cuerpo central,$\mu$, puede calcular fácilmente la energía específica (energía por unidad de masa), que le indicará si la trayectoria es elíptica (energía negativa) o hiperbólica (energía positiva). O tal vez parabólico (energía exactamente cero), que sin embargo solo tiene interés matemático. A partir de la energía, puedes obtener el eje semi-mayor,$a$. Aquí$v=|\vec{v}|$y$r=|\vec{r}|$:

$$\mathcal{E}={v^2\over 2}-{\mu\over r}$$

$$a={\mu\over 2\mathcal{E}}$$

Probablemente esté propagando órbitas elípticas con senos y cosenos. Una trayectoria hiperbólica se realiza de manera similar con senos hiperbólicos y cosenos hiperbólicos. Puede calcular el momento angular específico solo a partir de la posición y la velocidad, y de ahí obtener la excentricidad,$e$.

$$\vec{\mathcal{M}}=\vec{r}\times\vec{v}$$

$$e=\sqrt{1+{\vec{\mathcal{M}}\cdot\vec{\mathcal{M}}\over\mu a}}$$

Entonces una forma simple de la trayectoria en el$xy$avión, con máxima aproximación en el$+x$eje es:

$$x=a\left(e-\cosh\tau\right)$$ $$y=a\sqrt{e^2-1}\sinh\tau$$

dónde$\tau$es la anomalía excéntrica, relacionada con el tiempo, donde$\tau=0$y$t=0$está en el acercamiento más cercano:

$$t=\sqrt{a^3\over\mu}\left(e\sinh\tau-\tau\right)$$