¿Cómo se llaman las secciones cortas en los extremos de las piezas?

Una breve sección final a menudo se llama 'Coda'. Como dices, su función es cerrar todo después de que se completa el argumento musical principal.

El término musical 'Coda' se originó con la forma de sonata clásica donde los temas se establecieron, desarrollaron y reformularon, y luego se podía terminar con una Coda. Al igual que con todas esas cosas, su definición se ha vuelto más flexible a lo largo de los años.

Tu uso de la palabra "clímax" es confuso, porque el clímax de una canción no suele ser una parte corta al final. Así que me centraré en su pregunta principal en su lugar.

En la música popular, una pieza a veces termina con lo que se llama una etiqueta. Esta parte suele tener solo unos pocos compases y, en la mayoría de los casos, repite una línea que se escuchó anteriormente en la canción (por ejemplo, la última línea del coro, la primera línea del primer verso, etc.). Las canciones pueden repetir la etiqueta indefinidamente durante un desvanecimiento o una salida extendida (por ejemplo, "Pleasant Valley Sunday" de los Monkees), o pueden usar la etiqueta una vez y terminar abruptamente (por ejemplo, "Love's a Loaded Gun" de Alice Cooper) . La etiqueta puede, en cambio, tener una especie de kicker, una idea que pone el resto de la canción bajo una nueva luz (por ejemplo, "Foolin'" de Def Leppard). Supongo que, en este sentido, podría considerarse algo así como un clímax, aunque yo no lo llamaría así.

En cualquier caso, el propósito de una etiqueta generalmente es dejar al oyente con cualquier idea (musical y/o lírica) que el artista quiera que permanezca en su mente.