¿Cómo se llama mejor al conjunto de operadores de desplazamiento?

El conjunto de todos los elementos posibles de la forma.$e^{i\alpha}D(x,p)$con$\alpha, x,p \in \mathbb R$verificando las relaciones de conmutación que escribiste además de:

$$D(x,p)^* = D(-x,-p)\:,\quad D(0,0)=I$$ es un grupo y se llama grupo de Heisenberg , es homeomorfo (difeomorfo) a $U(1) \times \mathbb R^2$pero no isomorfo como un grupo de Lie. Es un verdadero grupo de Lie tridimensional simplemente conexo con álgebra de Lie generado por tres elementos, uno conmutando con los otros que, a su vez, verifican las conmutaciones estándar de relación de momento de posición.

El *-álgebra de todas las posibles combinaciones lineales complejas de elementos$D(x,y)$con$x,p \in \mathbb R$verificando las relaciones de conmutación que escribiste además de:

$$D(x,p)^* = D(-x,-p)$$ se llama Weyl *-álgebra (en realidad solo hay una forma de equiparlo con una norma que lo convierte en un $C^*$álgebra.)

Los objetos$D(x,p)$se llaman generadores de Weyl .

Podemos realizar el operador de desplazamiento como

$$\tag{1}\hat{D}(x,p)~=~e^{x\hat{P}+p\hat{X}},$$

donde los elementos$\hat{X}$,$\hat{P}$y${\bf 1}$genera el álgebra de Heisenberg

$$\tag{2} [\hat{X},\hat{P}]=i{\bf 1}.$$

Estos elementos se pueden realizar como operadores diferenciales en la representación de Schrödinger. (Ver también el teorema de Stone-von Neumann ). Bajo composición de operadores$\circ$, obtenemos un 2-cocycle

$$\tag{3} \hat{D}(x,p) \circ \hat{D}(x^{\prime},p^{\prime})~=~ e^{\frac{i}{2}(x^{\prime}p-p^{\prime}x)}\hat{D}(x+x^{\prime},p+p^{\prime}),$$

debido a un caso especial simple de la fórmula BCH . La operación composición (3) es asociativa. La fórmula para tres operadores dice

$$\tag{4} \hat{D}(x,p) \circ \hat{D}(x^{\prime},p^{\prime})\circ \hat{D}(x^{\prime\prime},p^{\prime\prime})$$ $$~=~ e^{\frac{i}{2}(x^{\prime}p+x^{\prime\prime}p+x^{\prime\prime}p^{\prime}-p^{\prime}x-p^{\prime\prime}x-p^{\prime\prime}x^{\prime})} \hat{D}(x+x^{\prime}+x^{\prime\prime},p+p^{\prime}+p^{\prime\prime}).$$

Los operadores de desplazamiento están estrechamente relacionados con el grupo de Heisenberg , cf. este párrafo.