¿Cómo se explica la tercera ley de Kepler en términos generales sin matemáticas complejas?

En 1619, casi un siglo antes de que Newton publicara sus innovadores Principia Mathematica , Johannes Kepler hizo una contribución revolucionaria a la astronomía observacional. Se dio cuenta de que el cuadrado del período orbital$(P^2)$(el tiempo que tarda un planeta en dar la vuelta al sol) de la órbita de un planeta es directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor (para casi todas las órbitas planetarias, la distancia media desde el sol) de ese orbita, ($a^3$). En las unidades correctas, tomando$a$estar en AU ( Unidades Astronómicas ) y$P$al ser en años, esta relación se puede expresar:

La tercera ley de Kepler captura una tendencia empírica. No hace afirmaciones sobre la naturaleza de la gravitación o las fuerzas físicas fundamentales que gobiernan los movimientos de los cuerpos celestes: representa un patrón matemático que Kepler encontró en los datos. Buscar tendencias como estas sigue siendo una gran parte de la astronomía observacional en la actualidad. La tercera ley de Kepler dice que los períodos orbitales y las distancias orbitales están relacionados, un descubrimiento importante porque, hasta ese momento, no se entendía ni aceptaba ampliamente que el comportamiento de los fenómenos naturales pudiera expresarse en lenguaje matemático.

Si no quieres resolverlo para una elipse general, puedes probar con un círculo. (caso especial de elipse). Ahora, para la fuerza centrípeta equivalente a la fuerza gravitacional =

y por tiempo total en una rotación.

Ahora, use primero para obtener la velocidad y póngala en la segunda ecuación

es decir.$T$proporcional a$R^{3/2}$.

Alternativamente, puede utilizar el análisis dimensional. quieres un tiempo$[T]$y las únicas cosas que tienes que importan son

• $G$con dimensiones$[M^{-1}] [L^3] [T^{-2}]$
• $M$masa del cuerpo central con dimensiones$[M]$
• $a$eje semi-mayor con dimensiones$[L]$(si no está convencido de que el eje semi-mayor es la distancia que importa, solo piense en esto como un "tamaño de la órbita" promedio generalizado: la escala será la misma)

Si los pones juntos arbitrariamente obtienes

con dimensión$[M^{j-i}] [L^{3i+k}] [T^{-2i}]$. Afirmando que tienes un tiempo$[T^1]$da:

Resolviendo estos da$i=j=-1/2$y$k=-3i=3/2$, por lo tanto

No puedes calcular la constante de proporcionalidad con este método, pero esto ya es suficiente para darte la tercera ley de Kepler.