¿Cómo se encuentra la incertidumbre de un promedio ponderado?

Estoy de acuerdo con @Ron Maimon en que estas preguntas sobre ETS son problemáticas. Pero este es (creo) el razonamiento con el que van. A diferencia de la suposición de @Mike, no debe tomar el promedio normal, sino el promedio ponderado , como se indica en la pregunta . Se asigna un promedio ponderado a cada medición$x_i$un peso$w_i$y el promedio es entonces

$$\frac{\sum_iw_ix_i}{\sum_i w_i}$$

Ahora la pregunta es ¿qué pesos se deben tomar? Una respuesta razonable es sopesar las medidas con mejor precisión más que las de menor precisión. Hay un millón de formas de hacer esto, pero de ellas se podrían dar los siguientes pesos:

$$w_i = \frac{1}{(\Delta x_i)^2},$$ que corresponde a la inversa de la varianza.

Entonces conectando esto, tendremos

$$c = \frac{1\cdot a+\frac{1}{4}\cdot b}{1+\frac{1}{4}}= \frac{4a+b}{5}$$

De este modo,

$$\Delta c = \sqrt{\left(\frac{\partial c}{\partial a}\Delta a\right)^2+\left(\frac{\partial c}{\partial b}\Delta b\right)^2}$$

$$\Delta c = \sqrt{\left(\frac{4}{5}1\right)^2+\left(\frac{1}{5}2\right)^2}=\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{4}{25}}=\sqrt{\frac{20}{25}}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2}{\sqrt5}$$

que es la respuesta dada en la clave de respuestas.

Por qué$w_i=1/\sigma_i^2$

Lo cierto es que esta elección no es del todo arbitraria. Es el valor de la media que maximiza la probabilidad (el estimador de Máxima Verosimilitud).

$$P(\{x_i\})=\prod f(x_i|\mu,\sigma_i)=\prod\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_i}}\exp\left(-\frac{1}{2}\frac{\left(x_i-\mu\right)^2}{\sigma_i^2}\right)$$ . Esta expresión maximiza, cuando el exponente es máximo, es decir, la primera derivada wrt $\mu$debería desaparecer:

$$\frac{\partial}{\partial\mu}\sum_i\left(-\frac{1}{2}\frac{\left(x_i-\mu\right)^2}{\sigma_i^2}\right) = \sum_i\frac{\left(x_i-\mu\right)}{\sigma_i^2} = 0$$

De este modo,

$$\mu = \frac{\sum_i x_i/\sigma_i^2}{\sum_i 1/\sigma_i^2} = \frac{\sum_iw_ix_i}{\sum_i w_i}$$ con $w_i = 1/\sigma_i^2$

Dado que otras preguntas, además de Google, apuntan a esta pregunta, me gustaría ampliar la respuesta ya existente de luksen mediante una motivación del estocástico para usar la ecuación de propagación de errores.

Supongamos que tenemos$n$mediciones aleatorias$X_i$, típicamente denotado por$E\{X_i\} \pm \sigma_i$(o$x_i \pm \Delta x_i$), mientras$E\{\cdot\}$y$\sigma_i$denote el valor esperado y la desviación estándar, respectivamente. De acuerdo con la pregunta, nos interesa el promedio ponderado de estas medidas, calculado por$Y = \frac{\sum_i w_i X_i}{\sum_i w_i}$($=c$). Gracias a la linealidad del valor esperado, es bastante fácil obtener

$$E\{Y\} = E\left\{\frac{\sum_i w_i X_i}{\sum_i w_i} \right\} = \frac{\sum_i w_i E\{ X_i\}}{\sum_i w_i}.$$ por la varianza $\sigma^2$, necesitamos algunas líneas más, pero nada de trucos. $$\begin{align} \sigma^2 &= E\left\{(Y-E\{Y\})^2\right\} = E\left\{\left(\frac{\sum_i w_i X_i}{\sum_i w_i} - E\left\{\frac{\sum_i w_i X_i}{\sum_i w_i} \right\} \right)^2\right\} \\ &= \frac{1}{(\sum_i w_i)^2} E\left\{ \left(\sum_i w_i X_i\right)^2 - 2 \left(\sum_i w_i X_i\right) \left(\sum_j w_j E\{X_j\}\right) + \left( \sum_i w_i E\{X_i\} \right)^2 \right\} \\ &= \frac{1}{(\sum_i w_i)^2} E\left\{ \sum_{i,j} w_i X_i w_j X_j - 2 \sum_{i,j} w_i X_i w_j E\{X_j\} + \sum_{i,j} w_i E\{X_i\} w_j E\{X_j\} \right\} \\ &= \frac{1}{(\sum_i w_i)^2} \sum_{i,j} w_i w_j \left( E\{X_i X_j\} - 2 \cdot E\{X_i\} E\{X_j\} + E\{X_i\} E\{X_j\} \right) \\ &= \frac{1}{(\sum_i w_i)^2} \sum_{i,j} w_i w_j \left( E\{X_i X_j\} - E\{X_i\} E\{X_j\} \right) \\ &= \frac{1}{(\sum_i w_i)^2} \sum_{i,j} w_i w_j \cdot Cov(X_i, X_j) \end{align}$$ La covarianza se mantiene $Cov(X_i, X_i) = \sigma_i^2$y, siempre que las medidas originales $X_i$y $X_j$son independientes, $Cov(X_i, X_j) = 0$de lo contrario. Esto lleva a la respuesta de la pregunta original, la varianza (desviación estándar al cuadrado) del promedio $Y$de $n$mediciones $X_i$con incertidumbre aleatoria $\sigma_i$: $$\sigma^2 = \frac{1}{(\sum_i w_i)^2} \sum_i w_i^2 \sigma_i^2,$$ cuyos rendimientos $$\Delta c = \sigma = \frac{1}{\sum_i w_i} \sqrt{\sum_i (w_i \sigma_i)^2}.$$ Eso es exactamente lo que produce la ecuación de propagación de errores después de insertar las derivaciones de $c$. ¿Por qué es exacta mientras que la ecuación de propagación del error es una aproximación? La ecuación de propagación del error se aproxima mediante una expansión de Tayler de primer orden . Dado que el promedio es una función lineal , aquí es exacto y no solo aproximado.

Información adicional: Para el promedio no ponderado ($w_i = 1~ \forall i$), obtenemos

$$E\{Y\} = \frac{1}{n} \sum_i E\{ X_i\} \quad\quad\quad \sigma^2 = \frac{1}{n^2} \sum_i \sigma_i^2$$ Si todas las muestras originales $X_i$tener la misma varianza $\tilde\sigma^2$, esto conduce también a la bien conocida varianza del promedio: $$\sigma^2 = \frac{\tilde\sigma^2}{n}.$$

Sería muy irrazonable obtener que la incertidumbre del promedio de las mediciones sea mayor que la incertidumbre de cualquier medición (√5/2 > 1). Después de todo, ¿cuál es el sentido de tomar promedios si solo hace que sus lecturas sean más inciertas?

Creo que la gente de ETS usó el argumento de que la suma armónica de las varianzas individuales debería dar el recíproco de la varianza del promedio, es decir, 1/v = 1/v1 + 1/v2, como se detalla aquí: http://en.wikipedia.org /wiki/Media_aritmética_ponderada#Tratamiento_con_varianza