¿Se rompe la ecuación CV = q cuando V es pequeño o un cable es muy largo?

Cuando haces preguntas sobre cosas "en el límite", la respuesta casi siempre es "Depende". En este caso, la respuesta es "depende".

La ecuacion$Q=CV$asume un comportamiento lineal del capacitor; en realidad, el dieléctrico de la mayoría de los capacitores tiene histéresis y un componente no lineal, por lo que a medida que aumenta el voltaje, la capacitancia cambiará. Este efecto es particularmente fuerte (y útil) en ciertos diodos PIN que se pueden usar, cuando se polarizan inversamente, como capacitores dependientes del voltaje (útiles para sintonizar electrónicamente circuitos de RF, por ejemplo).

La ecuación también supone que$Q$es solo la carga en el capacitor, que ninguna carga se acumula en otros lugares. Ahora, la capacitancia de un par de cables de 16 AWG separados por 1 cm es casi exactamente 10 pF/m; consulte esta práctica calculadora . Entonces, si su condensador está conectado a la batería con un cable suficientemente largo, el cable en sí mismo actuará como un condensador no despreciable. Nuevamente, en las frecuencias de RF (especialmente cuando se sube al rango de GHz), estos "parásitos" realmente comienzan a acumularse y, de hecho, dominan el comportamiento de los circuitos. De hecho, son la base de las líneas de transmisión y definitivamente se consideran importantes para la ingeniería eléctrica.

Volviendo a su pregunta original: si tiene una batería conectada a un capacitor con un par de cables y un interruptor, generalmente consideramos las siguientes simplificaciones:

1. El voltaje de la batería es el mismo antes de cerrar el interruptor y después
2. La única carga de interés está en el capacitor.
3. No fluye corriente en el circuito excepto en el instante en que se cierra el interruptor.

Con una precisión lo suficientemente alta, ninguna de estas suposiciones es cierta. Vamos a tomarlos uno a la vez:

1. Cuando la carga fluye de una batería, la reacción química que tiene lugar hará que el voltaje caiga ligeramente. En su ejemplo, usó 5 C de carga, es decir, 1 A durante 5 s, que es una cantidad de corriente no despreciable para una batería. Una batería de 120 V puede constar de 80 celdas de 1,5 V en serie; si cada celda cae 1 mV debido a esta carga transitoria, el voltaje de la batería caería 80 mV.

2. Como mostré arriba, los cables acumularán algo de carga; la cantidad de carga dependerá de la geometría. si el valor$Q$de interés es solo la carga en el capacitor (en lugar de la carga que dejó la batería), esta diferencia no importa, pero eso no se hizo explícito en la pregunta.

3. Un condensador tiene una resistencia finita: la carga se disipará lentamente. La rapidez con la que sangra depende de muchos factores: en particular, el material dieléctrico utilizado y el campo eléctrico que lo atraviesa. Hacer un capacitor con alta capacitancia por unidad de volumen requiere un dieléctrico muy delgado y, por lo tanto, un campo alto y posiblemente una fuga alta. Los capacitores de precisión tienden a ser de bajo valor y voluminosos.

En tu ejemplo, es posible una carga de 5 C y un voltaje de 120 V con una capacitancia de $c=\frac{5}{120} F = 42 mF. Esto es grande, pero no demasiado difícil de manejar. Encontré uno en línea que tenía una clasificación de 40 mF y 160 V; tenía 76 mm de diámetro, por 150 mm de largo. Como dije, bastante grande. Miré la hoja de datos de esta familia de capacitores pero no pude encontrar ninguna información sobre la corriente de fuga. Sin embargo, dado que se trata de un condensador electrolítico, la fuga será bastante grande. Por ejemplo, encontré un artículo genérico sobre la fuga de condensadores electrolíticos de aluminio que incluía el siguiente gráfico como figura 3:

Como puede ver, hay un flujo de corriente significativo en los capacitores electrolíticos grandes: esto fue para un dispositivo de 1 mF, 35 V, por lo que puede imaginar que será un poco peor para 44 mF, 120 V.

Estas diferencias a menudo son mucho más importantes que la caída de voltaje de la batería (sobre la cual se preguntaba su pregunta). Los cables largos más las corrientes de fuga podrían , en principio, dar como resultado una caída de voltaje sostenida en los cables. Pero como regla general, los ingenieros eléctricos tendrán cuidado al diseñar circuitos de precisión (aquellos en los que unos pocos mV en 120 V pueden ser importantes) con cables cortos; y si necesita tramos largos con un voltaje preciso al final, puede usar la regulación local en el otro extremo, o una solución de 3 o 4 hilos que permita la detección en el extremo remoto para que la fuente de voltaje pueda compensar.

Las baterías no son condensadores. Cerrar el interruptor no redistribuye una cantidad fija de carga en el circuito. En cambio, las baterías pueden crear nueva carga a través de reacciones químicas. La redistribución reduciría ligeramente el potencial, permitiendo que la reacción química continúe hasta que vuelva al voltaje de reposo.

Si bien las baterías reales no son ideales (el voltaje que proporcionan no es constante), tales efectos no suelen modelarse para este tipo de problema. Un diseñador simplemente se aseguraría de que el circuito fuera válido en un rango de voltajes. La caída de voltaje bajo la corriente superará cualquier cambio en el voltaje de corriente cero.

Primero, estoy un poco confundido por su declaración sobre dos baterías.

La capacitancia de un capacitor de dos lados se define como la relación entre la magnitud de la carga separada (comúnmente, la magnitud de la carga en cada placa) y la diferencia de potencial resultante (también conocido como voltaje) entre las placas. Es técnicamente una fórmula de "qué pasaría si". La capacitancia real depende de la disposición geométrica y material de las placas.

A menudo cambiamos esta definición,$C=\frac{q}{V}$, en una ecuación operativa como$q=CV.$Y esto está bien, porque, al menos en primer orden (y probablemente en segundo y tercer orden) en un capacitor ordinario, la capacitancia es independiente del voltaje hasta la rigidez dieléctrica del material del espacio. Cualquiera que sea el voltaje a través del condensador, operativamente,$q=CV$dónde$V$es el voltaje de una placa a la otra.

Precisamente cómo esto se relaciona con una batería en el circuito depende de qué otros elementos hay en el circuito. En un circuito en serie con una batería real y cables reales con resistencia real, el voltaje entre las placas podría ser levemente menor que la fem de la batería mientras se carga el capacitor. Si el capacitor tiene fugas, entonces continuará fluyendo una corriente y el voltaje será continuamente un poco menor que la fem .

Si ponemos en paralelo dos condensadores de diferente capacidad, acumularán cargas diferentes. Si ponemos en serie dos capacitores de diferentes capacidades, tendrán diferentes voltajes pero la misma carga.

En pocas palabras: el voltaje en$q=CV$es el voltaje a través del capacitor solamente. Puede suceder que sea el mismo valor que el voltaje a través de otro componente simplemente por la forma en que está conectado el circuito. A medida que el capacitor gana carga después de cerrar el interruptor, su voltaje cambia a una velocidad determinada por las resistencias reales en los cables y la batería. Si esa resistencia es pequeña, la carga ocurre muy rápidamente.