¿Cómo puedo calcular si un estante es lo suficientemente fuerte para soportar la caída de un gato?

Si un objeto acelera en una distancia$d_1$con una fuerza constante$F_1$, luego desacelera en una distancia$d_2$con una fuerza constante$F_2$, entonces la conservación de la energía nos daría que

de donde se seguiría que

En otras palabras, si el gato puede absorber el impacto de su caída a una distancia mayor, la fuerza será menor. Por supuesto, cuando tienen la oportunidad, lo hacen maravillosamente estirando primero las patas y luego agachándose: esto se muestra muy bien en esta respuesta de la que reproduzco la imagen (originalmente por Etienne-Jules Marey):

Matemáticamente, si la caída total es de 2 m y el gato puede absorber el impacto en una distancia de 20 cm (aproximadamente la distancia que cae el centro de masa desde el primer contacto con el gato estacionario), entonces la fuerza promedio durante el aterrizaje es diez veces su peso .

Tenga en cuenta que la "clasificación" de un estante asume la capacidad de "disminuir" el peso nominal: si toma un libro de 20 kg y lo coloca en el estante clasificado para 20 kg, no esperará que el estante se rompa ( aunque ejercerás brevemente una fuerza muy superior a 200 N). Esto muestra que debe hacer una distinción entre límite estático y dinámico : para cosas como estantes, generalmente especifican el límite de carga como "el objeto más grande que debe colocar en este estante", sabiendo muy bien que cuando lo coloca aproximadamente, la fuerza instantánea será mucho mayor.

Si encuentra una referencia interesante de la Asociación de Paneles Compuestos, brindan reglas de diseño para estantes, incluidos cálculos detallados de tensión local y resistencia a la ruptura del tablero de partículas. Sin conocer los detalles de la configuración de su estante, no puedo comentar sobre la aplicabilidad de estos cálculos, pero es posible que encuentre información útil allí. Una cosa a tener en cuenta, por ejemplo, es que la tensión en el estante depende de la distancia entre los soportes y de cómo se apoyan los bordes. Si está preocupado, puede crear un soporte central para su estante y aumentar la capacidad de carga en más de 2 veces. Tenga en cuenta también que las reglas de diseño que dan son para mantener la deflexión de los estantes por debajo de una pequeña cantidad (0,1 pulgadas para estantes de 24 pulgadas, o alrededor del 0,4% del espacio). La ruptura ocurrirá con deflexiones mucho mayores.

Creo que tu gato estará bastante seguro. Pero podrías dar algunas lecciones de etiqueta a sus compañeros gatos. ¿Empujarlo del estante superior? ¿En realidad?

Cuando el gato abandone el estante superior, será acelerado por el campo gravitatorio de la Tierra hacia el estante inferior a una velocidad de 9,8 metros por segundo, por segundo (9,8 m/seg^2). Suponiendo que su velocidad inicial fuera cero, en el momento en que el gato aterrice en el estante inferior, su velocidad será de 19,6 m/seg .

El impulso del gato en el estante inferior será de 6,5 kg * 19,6 m/s = 127,4 kg m/s .

Supongamos que las patas del gato están 15 centímetros completamente extendidas. Cuando el gato aterrice, sus patas se doblarán debajo de él, reduciendo su longitud efectiva a 5 centímetros. El gato desacelerará de 19,6 m/seg a cero mientras colapsa 10 centímetros. Su velocidad promedio durante la desaceleración será de 9,8 m/s, por lo que tardará alrededor de 0,1 segundos en detenerse por completo en el estante inferior, y su desaceleración será de 19,6 / 0,1 = 196 m/seg^2 .

El teorema del impulso-cantidad de movimiento dice que el impulso que el estante aplica al gato será igual al cambio de cantidad de movimiento del gato. A medida que la cantidad de movimiento cae de 127,4 kg m/s a cero, el impulso será de 127,4 newton segundos .

Podemos derivar la fuerza de la ecuación impulso-cantidad de movimiento:

Fuerza * t = m * ∆v

Fuerza * 0,1 seg = 6,5 Kg * -19,6 m/seg

Fuerza = -127,4 Kg m/seg / 0,1 = -1.274 newtons

Comparemos la fuerza derivada del teorema impulso-cantidad de movimiento con la fuerza que podemos derivar de la segunda ley del movimiento de Newton: Fuerza = 6,5 kg * -196 m/seg^2 = -1274 newtons.

La tercera ley de movimiento de Newton dice que la fuerza aplicada al gato, será aplicada por el gato al estante inferior.

Por lo tanto, el estante soportará una fuerza de 1274 newtons. Como el estante fue diseñado para transportar 20 kg * 9,8 = 196 newtons, el estante no resistirá el impacto del gato a menos que el gato, a través de un tono muscular y reacciones superiores, prolongue su tiempo de desaceleración.

Debe colocar una almohadilla de espuma gruesa en el estante para alargar el tiempo de desaceleración o instalar un estante mucho más fuerte.

Precaución: mi suposición sobre la desaceleración del gato puede ser incorrecta.

Tendrás que estimar la rapidez con la que el gato pasa de la velocidad máxima a detenerse por completo. Luego, dada la velocidad inicial del gato cuando llega al estante, usa el teorema de impulso-cantidad de movimiento. la ecuacion es:

¿Es suficiente información o necesitas una ecuación adicional para calcular la velocidad inicial del gato?