¿Cómo puedo calcular el tiempo para recorrer una distancia con la ecuación de Tsiolkovsky?

No, no puedes usar la aceleración media de la manera que propones, porque la ecuación$t = \sqrt{\frac{2\,s}{a}}$asume aceleración constante.

Debe describir el sistema con una ecuación diferencial que tenga en cuenta la dinámica del sistema: dado que está aprendiendo como pasatiempo, es posible que no haya visto mucho de esto. Su último párrafo es un razonamiento correcto y está más cerca de lo que necesita. La redacción correcta es "resolver" o "invertir" o "reorganizar" la ecuación, pero "invertir" es bastante evocador y más cercano a "invertir".

Necesita más información para resolver su problema: necesita un modelo de cómo la masa de su cohete disminuye con el tiempo. El modelo más simple (y probablemente bastante preciso) es que la tasa de disminución de masa es una tasa de flujo de masa constante: llamemos a esto$q$.

Volvamos a la ecuación diferencial de donde se deriva la ecuación de Tsiolkovsky. Calculamos el cambio de velocidad del cohete.$\mathrm{d}\,v$después de haber arrojado una masa$\mathrm{d}\,m$por la espalda a toda velocidad$v_e$en relación con él: en relación con el marco en algún instante, antes de que se arroje la masa, el momento lineal total del sistema es cero: por lo tanto, este debe ser el momento relativo a este marco después de que se arroje la masa. El aumento del impulso del cohete es$m\,\mathrm{d} v$, que debe equilibrarse con el momento de la masa lanzada en la dirección opuesta para que:

$$m\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} m} = v_e$$

Esta es la ecuación diferencial que se resuelve para obtener la ecuación de Tsiolkovsky. Con algunos malabares, lo reorganizamos para:

$$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} t} = \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}v^2}{\mathrm{d} s} = \frac{v_e}{m}\,\frac{\mathrm{d}\,m}{\mathrm{d}t} = \frac{v_e\,q}{m}\tag{1}$$

El primer paso es una identidad estándar que convierte la aceleración, es decir, la tasa de cambio$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} t}$de la velocidad con respecto al tiempo$t$, en una tasa de cambio con respecto a la distancia recorrida$s$. Ahora, de la ecuación de Tsiolkovsky tenemos$m(v) = m_0\,\exp\left(-\frac{v-v_0}{v_e}\right)$, dónde$v_0$es la velocidad inicial y$m_0$la masa inicial: cuando ponemos esto en la ecuación (1) obtenemos:

$$\frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}v^2}{\mathrm{d} s} = v\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} s}=\frac{v_e\,q}{m_0}\,\exp\left(\frac{v-v_0}{v_e}\right)\tag{2}$$

Esta es la ecuación diferencial que debes integrar para obtener la distancia recorrida en función de$v$. Déjame saber cómo te va con este. También de (1), obtenemos de la manera anterior de la ecuación de Tsiolkovsky invertida:

$$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} t} = \frac{v_e}{m}\,\frac{\mathrm{d}\,m}{\mathrm{d}t} = \frac{v_e\,q}{m_0}\,\exp\left(\frac{v-v_0}{v_e}\right)\tag{3}$$

cual es la ecuacion diferencial que debes resolver para obtener$v$como una función del tiempo.

El tiempo en función de la distancia proviene de esta última ecuación. Al integrar esta última ecuación, se obtiene

$$v(t) = v_o+v_e\log\left(\frac{m_0}{m_0 - q\, t}\right)$$

y luego necesitas integrar esto, porque ahora tienes la ecuación diferencial$\frac{\mathrm{d}\,s}{\mathrm{d}\,t}=v_0+ v_e\log\left(\frac{m_0}{m_0 - q\, t}\right)$. Esta última integración te deja con:

$$s(t) = v_e\, \left(t-\frac{m_0}{q}\right) \log \left(\frac{m_0}{m_0-q\, t}\right)+t\, (v_0+v_e)$$

Para encontrar el tiempo para viajar una cierta distancia, será necesario hacerlo numéricamente, ya que, dado$s$, tienes una ecuación trascendental en$t$.