¿Cómo pueden las ecuaciones de Maxwell describir tanto fotones como electrones/protones?

Lo siguiente no es muy conocido, pero las ecuaciones de Maxwell (modificadas) pueden describir tanto el campo electromagnético como los electrones.

@Quantumwhisp comentó: "Las ecuaciones de Maxwell no describen partículas cargadas en absoluto", y luego preguntó: "¿Puede derivar la fuerza de Lorentz de las ecuaciones de Maxwell?"

No digo que estos comentarios no sean razonables, pero, sorprendentemente, Dirac derivó la fuerza de Lorentz de las ecuaciones de Maxwell (Proc. Roy. Soc. London A 209, 291 (1951)).

Resumí la derivación de Dirac en otro lugar de la siguiente manera.

Dirac considera las siguientes condiciones de acción estacionaria para el campo electromagnético libre Lagrangiano sujeto a la restricción$A_\mu A^\mu=k^2$:

$$\begin{equation}\label{eq:pr1} \Box A_\mu-A^\nu_{,\nu\mu}=\lambda A_\mu, \end{equation}$$ dónde$A^\mu$es el potencial del campo electromagnético, y$\lambda$es un multiplicador de Lagrange. La restricción representa una condición de calibre no lineal. Se puede suponer que la corriente conservada en el lado derecho de la ecuación es creada por partículas de masa$m$, cargar$e$, y el impulso (¡no el impulso generalizado!)$p^\mu=\zeta A^\mu$, dónde$\zeta$es una constante Si estas partículas se mueven de acuerdo con las ecuaciones de Lorentz $$\begin{equation}\label{eq:pr2} \frac{dp^\mu}{d\tau}=\frac{e}{m}F^{\mu\nu}p_\nu, \end{equation}$$ dónde$F^{\mu\nu}=A^{\nu,\mu}-A^{\mu,\nu}$es el campo electromagnético, y$\tau$es el tiempo propio de la partícula ($(d\tau)^2=dx^\mu dx_\mu$), entonces $$\begin{equation}\label{eq:pr3} \frac{dp^\mu}{d\tau}=p^{\mu,\nu}\frac{dx_\nu}{d\tau}=\frac{1}{m}p_\nu p^{\mu,\nu}=\frac{\zeta^2}{m}A_\nu A^{\mu,\nu}. \end{equation}$$ Debido a la restricción,$A_\nu A^{\nu,\mu}=0$, entonces $$\begin{equation}\label{eq:pr4} A_\nu A^{\mu,\nu}=-A_\nu F^{\mu\nu}=-\frac{1}{\zeta}F^{\mu\nu}p_\nu. \end{equation}$$ Por lo tanto, las últimas tres ecuaciones son consistentes si$\zeta=-e$, y luego$p_\mu p^\mu=m^2$implica$k^2=\frac{m^2}{e^2}$(Hasta ahora la discusión se limita al caso$-e A^0=p^0>0$).

Por lo tanto, la primera ecuación con la condición de calibre

$$\begin{equation}\label{eq:pr5} A_\mu A^\mu=\frac{m^2}{e^2} \end{equation}$$ describe tanto la dinámica independiente del campo electromagnético como el movimiento constante de partículas cargadas de acuerdo con las ecuaciones de Lorentz. Las palabras "dinámica independiente" significan lo siguiente: si los valores de los componentes espaciales$A^i$del potencial ($i=1,2,3$) y sus primeras derivadas con respecto a$x^0$,$\dot{A}^i$, son conocidas en todo el espacio en algún momento en el tiempo ($x^0=const$), entonces$A^0$,$\dot{A}^0$puede ser eliminado usando la condición de calibre,$\lambda$puede eliminarse usando la primera ecuación para$\mu=0$(la ecuación no contiene segundas derivadas con respecto a$x^0$para$\mu=0$), y las segundas derivadas con respecto a$x^0$,$\ddot{A}^i$, se puede determinar a partir de la primera ecuación para$\mu=1,2,3$.

Sin embargo, lo anterior se trata de electrodinámica clásica. ¿Qué pasa con la teoría cuántica? Resulta que las ecuaciones de Maxwell modificadas pueden ser equivalentes a la electrodinámica de Klein-Gordon-Maxwell o (con algunas salvedades) a la electrodinámica de Dirac-Maxwell (ver mi artículo Eur. Phys. J. C (2013) 73:2371 en https : //link.springer.com/content/pdf/10.1140/epjc/s10052-013-2371-4 ).

Es decir, cómo logra un único sistema de ecuaciones describir el comportamiento tanto de la materia cargada (como los electrones y protones) como la propagación de los fotones.

Los fotones son mecánicos cuánticos y las ecuaciones de Maxwell son clásicas, por lo que no describen fotones. Describen campos y ondas electromagnéticas.

Las ecuaciones de Maxwell no predicen directamente todo sobre la materia cargada. Sin embargo, si tiene una imagen impuesta externamente que proporciona al menos alguna restricción sobre cómo es su materia cargada, entonces las ecuaciones de Maxwell proporcionan bastante valor predictivo. Esto se debe en parte a que las leyes de Maxwell implican la conservación de la energía, el impulso y la carga y, en muchos casos, esas leyes de conservación son suficientes para predecir lo que desea saber.

Las ecuaciones de Maxwell por sí solas no determinan el comportamiento del campo electromagnético y las partículas cargadas. Más bien, estas ecuaciones describen:

• Comportamiento del campo EM libre
• Acoplamiento de este campo a cargas y corrientes.

Matemáticamente, las ecuaciones de Maxwell están incompletas y necesitan ser apoyadas por las ecuaciones materiales , que describen la respuesta de las partículas al campo electromagnético. Estos pueden tomar la forma de leyes fenomenológicas simples, como la ley de Ohm,

$$\mathbf{j}=\hat{\sigma}\mathbf{E},$$ o aparecen como soluciones de la ecuación de Schrödinger y otros modelos relativistas y no relativistas.