¿Cómo puede un *aumento* en la temperatura atmosférica causar un *aumento* en la densidad de masa atmosférica?

El concepto clave es que para un satélite a una altitud fija, cuando aumentan las temperaturas atmosféricas por debajo de su altitud, ¡la expansión atmosférica empuja más atmósfera sobre el satélite! A la altura del satélite, la presión debe aumentar para soportar el peso de esa masa atmosférica adicional que se encuentra arriba, y el aumento de la presión compensa el aumento de la temperatura.

Voy a hacer algunas suposiciones simplificadoras que, aunque no describan la atmósfera real de la Tierra, no cambiarán el resultado general. Asumiré que la atmósfera es isotérmica , es decir, la misma temperatura independientemente de la altitud (no lo es). Y supondré que g , la aceleración debida a la gravedad, es constante independientemente de la altitud (no lo es). Más adelante diré por qué esto no cambia las conclusiones.

Reorganizaré la Ley de los gases ideales para obtener la densidad de masa. El primer reordenamiento da

$$\frac{N}{V} =\frac{P}{RT}$$ N/V es el número de moles por volumen, o la densidad molar . Dado que N es la masa total de todas las moléculas en el paquete, m , dividida por la masa molar promedio $\mu$, $$\frac{m}{\mu V} =\frac{P}{RT}$$ o $$\frac{m}{V} =\frac{P\mu}{RT}$$ y m/V es solo densidad de masa.

Un parámetro fundamental para la ciencia y la dinámica atmosféricas es la altura de la escala , que es la distancia vertical que debe recorrer para cambiar la presión atmosférica en un factor de e ; e si vas hacia abajo, 1/ e si vas hacia arriba. Usualmente denotada por H , está dada por

$$H =\frac{RT}{\mu g}$$ donde R es la constante universal de los gases , T es la temperatura en unidades absolutas (como kelvins), $\mu$es la masa molar promedio de la mezcla de aire y g es la aceleración de la gravedad.

Como mantendré T , g y$\mu$constante, H es una constante para este análisis.

Una atmósfera isotérmica tiene un perfil de presión vertical dado por

$$P(h) = Po e^{-h/H}$$ donde Po es la presión a una altitud específica (como el nivel del mar), h es la altitud con respecto a la altitud de referencia especificada, H es la altura de la escala y P(h) es la presión a la altitud h .

Ahora imagine una atmósfera en capas, isotérmica (por ahora) con capas de 10 km. Cada capa soporta todas las capas por encima de ella. Suponga una altura de escala típica para la atmósfera inferior de la Tierra de 8 km. Luego, en la parte superior de una capa, la presión sería

$$P(top) = P(bottom) e^{-10/8}$$ o ~1/3,5 de la presión en el fondo.

Ahora aumente la temperatura de toda la capa más baja en un 10 %, expandiéndola en un 10 % según la Ley de los gases ideales, por lo que ahora tiene 11 km de espesor, con la presión en su parte superior sin cambios. Empujó todas las capas superiores 1 km hacia arriba y todavía soporta su peso, que no ha cambiado (debido a g constante ).

Ahora haga lo mismo para la siguiente capa más alta: otra elevación de 1 km para las capas por encima de esa. La parte superior de la capa 2 ahora está 22 km hacia arriba en lugar de los 20 km originales, y todo lo que está por encima ha sido empujado hacia arriba 2 km.

Haz eso otras 8 veces, para capas sucesivamente más altas. Ahora, la parte superior de la capa 10 está a 110 km, donde solía estar la parte superior de la capa 11, pero todavía tiene la presión original de la parte superior de la 10. La presión en la parte superior del 10 es la misma que la presión en la parte inferior del 11, por lo que la presión en la parte superior del 11 es ~1/3,5 de la presión en la parte superior del 10.

En h = 110 km, antes del calentamiento, la presión era la de la parte superior del nivel 11 (~1/3,5 veces la presión en la parte superior del nivel 10), y la temperatura era la temperatura isotérmica original, llámela To . Calculando una expresión para la densidad original a 110 km, definiendo Po como la presión original en la parte superior del nivel 10:

$$\frac{m}{V} =\frac{(Po/3.5)\mu}{RTo} = \frac{1}{3.5} \times\frac{Po \mu}{RTo}$$

Después de calentar, la presión en h = 110 km es ahora la presión de la parte superior del nivel 10 y la temperatura ha subido un 10 %. Ahora calcule una expresión para la densidad a 110 km después de ese calentamiento:

$$\frac{m}{V} =\frac{(Po)\mu}{R(1.1\times To)} = \frac{1}{1.1} \times\frac{Po \mu}{RTo}$$

¡El segundo es mayor que el primero por un factor de ~3.2! Esto surge del hecho de que toda la masa de la capa 11, que originalmente estaba por debajo de la altitud de 110 km, ahora está por encima del nivel de 110 km, por lo que la presión a 110 km debe aumentar lo suficiente para soportar ese peso adicional.

Tenga en cuenta que este movimiento ascendente es el resultado del aumento de las temperaturas de las capas por debajo de los 110 km de altitud. Si aumenta las temperaturas de las capas por encima de la altitud especificada, no tiene ningún efecto sobre la densidad a la altitud especificada, aparte de un transitorio debido a la aceleración del aire hacia arriba.

Para aquellos a quienes no les gusta la suposición isotérmica, está bien: hagan que la temperatura sea variable. Ahora, en lugar de capas de 10 km, tenga capas de 1 m, cada una a su propia temperatura, que en cada capa será casi constante durante ese cambio de altitud de 1 m. Cambia la temperatura de cada uno en un 10% y haz la expansión, ¡y listo! : obtiene el mismo resultado neto, después de muchas más iteraciones a través del proceso.

De hecho, la aceleración gravitatoria disminuye con la altitud, aumentando la altura de la escala ( g está en el denominador de esa ecuación), pero para un cambio de altitud de 110 km varía menos del 4%, lo que no es suficiente para compensar ese factor de aumento de 3+. visto en el análisis anterior.

Como dice Mark Adler, la realidad es mucho más complicada, pero este tratamiento ayuda a ver por qué se produce el aumento de densidad. Durante los eventos de calentamiento atmosférico real (erupciones solares, eyecciones de masa coronal), el calentamiento ocurre muy por encima de la superficie (nadie que no esté en el negocio espacial lo nota), pero una parte significativa de él ocurre en altitudes por debajo de la LEO normal, por lo que afecta a las aves LEO.

La altura de la escala es proporcional a la temperatura. A medida que aumenta la altura de la escala, aumenta la densidad por encima de aproximadamente una altura de escala. (La densidad debajo de eso disminuye). Esto es lo que esperaría si toda la atmósfera se calienta. En resumen, la atmósfera florece, por lo que simplemente obtienes más partículas más arriba.

Sin embargo, la realidad es mucho más complicada que eso, ya que la termosfera no está en equilibrio, no está cerca de un gas ideal y es en parte un plasma. Ah, y la gravedad varía lo suficiente como para que la altura de la escala ya no funcione.

Este artículo analiza el modelado de los cambios de densidad en la termosfera en respuesta a una tormenta geomagnética.

Aquí está el perfil de densidad de una atmósfera isotérmica de masa total fija 1,

$$\rho(h) = \frac{\exp(-h/h_0)}{h_0}$$ animado sobre diferentes temperaturas (y por lo tanto diferentes alturas de escala):

Vemos que, mientras que la densidad a nivel del suelo siempre disminuye con el aumento de la temperatura, la densidad a mayor altura aumenta al principio, a medida que la temperatura lleva a la atmósfera a una mayor expansión.

Código fuente (Haskell):

import Graphics.Dynamic.Plot.R2
main =
 plotWindow [ plotLatest [legendName ("ℎ₀ = "++take 4(show h0))
                           . continFnPlot $ \h -> exp (-h/h0)/h0
                         | h0 <- [0,0.06..]]
            , forceXRange (0,10), forceYRange (0,0.5)
            , xAxisLabel "ℎ", yAxisLabel "𝜌" ]