¿Cómo puede surgir un exponente tan alto en esta ecuación física?

Este sitio http://what-if.xkcd.com/14/ afirma que durante un destello de helio, "la velocidad de reacción es proporcional a la potencia 40 de la temperatura".

Dando por sentado que esto es cierto, ¿cómo puede surgir un exponente tan grande en una ecuación física? Simplemente no tiene sentido para mí que algún proceso físico pueda dar lugar a este fenómeno.

Sería satisfactoria una explicación de cómo puede surgir un destello de helio, pero la pregunta es realmente más general. ¿Cómo puede un proceso físico acumular suficientes factores para llegar a x^40? Los procesos termodinámicos tienden a estar en x ^ 2 o x ^ 3 y la geometría solo puede agregar algunos x ^ 3 más.

Tenga en cuenta que no estamos hablando de la escala de las cosas (obviamente, la potencia 40 no es gran cosa en las escalas de longitud o tiempo), estamos hablando de una /ecuación/ física.

Buena pregunta. Pueden ocurrir altas potencias, pero sigo pensando que la explicación aquí es diferente. La dependencia no es una potencia 40 exacta en ningún sentido. De hecho, es exponencial: la fusión depende de la tunelización cuántica que prueba las "colas" de la distribución que disminuyen exponencialmente y, a temperaturas más altas, uno puede avanzar mucho más en la cola, acelerando así la velocidad exponencialmente, y el (aproximadamente) Podría decirse que la potencia 40 es solo la mejor interpolación de la función intrínsecamente exponencial para algún intervalo de parámetros.
Parece ser notablemente difícil buscar en Google cualquier información sobre la cinética del destello de helio. El artículo original es Schwarzschild, M. & Harm, R., 1962 Astrophys. J., 136, 158 pero eso no está disponible en línea. Presumiblemente, la información está en los libros de texto modernos: si alguien tiene una referencia, me interesaría leerla.
Supongo que es aproximadamente el valor de la derivada de potencia d yo norte ( F ( r ) ) d yo norte ( r ) , que da el exponente de a la ley de potencia aproximada local. Probablemente sea una ley exponencial como dijo @LubošMotl. Recuerdo una vez que hice un cálculo sobre la producción de energía estelar que arrojó una potencia derivada de alrededor de 22, así que ¿por qué no 40?
@BenjiRemez: Realmente no veo cómo decir "es una ley exponencial" explica cómo tales leyes pueden surgir físicamente. ¿Puedes explicar más sobre el caso del 22 que mencionas? Esa podría ser una respuesta válida.
Lo que quise decir es que la cantidad en cuestión es mi ser una función exponencial de la forma y ( X ) = mi X . Tanto el túnel cuántico como los factores de Boltzmann son exponenciales, y ambos entran en juego en la fusión estelar. Intenta buscar el Pico Gamow. Ahora, si tienes alguna ley de potencia %f(r) = r^n%, observa que su derivada logarítmica %\frac{d(log(f(r))}{d(log(r))}$ es igual a %n%, por lo que se obtiene el exponente de la Ley. En principio, se puede aplicar a cualquier función general, y su valor daría el exponente apropiado si desea aproximar localmente esa función como una ley de potencia.
Cuando tiene un comportamiento exponencial que va como exp (ax - bx ^ 2), donde a es positivo y b es positivo, puede aproximar la cosa en el exponente como un logaritmo, escalando por una constante, y luego la potencia puede ser lo que quieras.
@BenjiRemez: ¡deberías expandir esto en una respuesta!
No tengo tiempo para proporcionar una respuesta detallada ahora, pero lo remito a un libro de texto gratuito, Fundamentos de astrofísica estelar de Collins . La sección 3.3 analiza las velocidades de las reacciones nucleares. La tabla 3.4 proporciona leyes de potencia aproximadas para varias velocidades de reacción. Tenga en cuenta que diferentes leyes de potencia se aproximan a diferentes rangos de temperatura, y 40 es relevante a la temperatura del núcleo al comienzo del flash, cuando la velocidad de reacción aumenta más abruptamente.
Wikipedia cita Introducción a la astrofísica moderna, ISBN 0-8053-0402-9 página 312-313 para este aspecto del proceso triple alfa , la fusión nuclear de helio en carbono: "La potencia liberada por la reacción es aproximadamente proporcional a la temperatura a la potencia 40..."

Respuestas (1)

Ampliando los comentarios anteriores:

La cantidad en cuestión probablemente no obedece a una ley de potencia en el sentido tradicional. Lo más probable es que sea una ley exponencial. y ( X ) = mi X , ya que involucra factores termodinámicos de Boltzmann y probabilidades de efecto túnel cuántico, y ambos son exponenciales.

Habiendo dicho eso, todavía se puede aproximar localmente como una ley de potencia. Considere una función F ( r ) = r norte . Si tomas su derivada logarítmica d ( en ⁡   F ( r ) ) d ( en ⁡   r ) , recuperas el exponente norte . También puede aplicar esta derivada a cualquier función general. El valor que obtienes (en función de r ) es entonces el exponente apropiado si desea utilizar una aproximación local de ley de potencia.

Consulte este documento ; muestra tanto los cálculos exponenciales como el uso de esta derivada.

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