¿Cómo encuentras la masa involucrada en las reacciones de fusión en el centro de una estrella?

Las ecuaciones a las que se refiere Countto10 son las ecuaciones de la estructura estelar, que describen cómo la presión ($P$), luminosidad ($L$), temperatura ($T$), y masa encerrada ($M$) cambia en un radio$r$en la estrella ¹ :

$$\frac{\mathrm{d}M_r}{\mathrm{d}r}=4\pi r^2\rho(r)\tag{Mass}$$ $$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}r}=-\frac{GM_r\rho(r)}{r^2}\tag{Pressure}$$ $$\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}r}=4\pi r^2\epsilon(r)\tag{Luminosity}$$ $$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}=\frac{3\rho(r)\kappa(r)}{64\pi r^2\sigma[T(r)]^3}L(r)\tag{Temperature}$$ $\epsilon$, $\rho$y $\kappa$son la tasa de generación de energía, la densidad y la opacidad, respectivamente. Todos los demás símbolos son constantes. Son ecuaciones diferenciales acopladas, por lo que deben resolverse mediante métodos numéricos , no analíticos como los que podríamos usar para las ecuaciones diferenciales "normales". Uno de los métodos comunes más simples es el método de ajuste . Lo sabemos $M(r=0)=0$y $L(r=0)=0$, pero no sabemos $P(r=0)$y $T(r=0)$. Sin embargo, podemos calcular los valores de $P$y $T$en la superficie

podemos adivinar que$L$y$M$estará en la superficie y qué$P$y$T$estará en el centro de la estrella. Luego "integramos" tanto hacia adentro como hacia afuera hasta llegar a un "punto de ajuste" y verificamos si las ecuaciones coinciden. Si no lo hacen, todavía podemos hacer algunos ajustes y rehacer el proceso. Hay otros trucos que hacen que el proceso sea más interesante y ciertamente más rápido. Sin embargo, al final de todo, tienes una descripción de cómo cambian todas estas variables con el radio dentro de la estrella. Luego puede averiguar cuánta masa, por ejemplo, está contenida dentro de una determinada región, y si podemos averiguar el radio exterior de la región donde tiene lugar la fusión nuclear primaria, podemos encontrar$M$en ese radio. Eso te da el resultado que estás buscando.

Todo esto es muy complicado, y probablemente no hice que las cosas parecieran más simples. Esta bien; el proceso realmente no es simple. Algo más práctico podría convencerlo del poder de algunas de estas suposiciones. Podemos aproximarnos a la estrella asumiendo que es un politropo , es decir, que su presión y densidad están relacionadas por una cierta fórmula simple. Después de hacer algunos juegos matemáticos, finalmente llegamos a una ecuación diferencial simple, llamada ecuación de Lane-Emden :

$$\frac{1}{\xi^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\left(\xi^2\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\xi}\right)=-\theta^n$$ ¡Ay! ¡Más variables! $\xi$se conoce como el radio adimensional , porque se escala linealmente con $r$. $\theta$es una función de $\xi$, y $P$, $\rho$y $T$son todas funciones de $\theta$. Entonces, si resolvemos esta ecuación diferencial, ¡podemos obtener algunas estimaciones realmente interesantes para la estructura de la estrella! ²

Tenía un código antiguo de Python para un método de Runge-Kutta de cuarto orden y lo usé para integrar numéricamente la ecuación de Lane-Emden (aunque no usé un tamaño de paso grande). Luego tracé la temperatura, la densidad y la presión de la estrella dividida por sus valores centrales:

¡Mira qué rápido se caen!$\theta=0$en poco más$\xi=6$, por lo que aproximadamente a la mitad de la estrella, las condiciones son muy diferentes que en el centro. Esto parece confirmar la afirmación de que el núcleo contiene alrededor del 10% de la masa del Sol.

---

¹ La ecuación de la temperatura realmente solo es válida bajo ciertas condiciones.
² La suposición falla cerca de la superficie, pero está bien. Aquí solo nos preocupamos por el núcleo.

Conocemos las ecuaciones relativas a la masa/densidad, la presión (tanto gravitatoria hacia el interior como la radiación hacia el exterior) y el perfil de temperatura de la estructura del sol. y estos se detallan a continuación.

Asumimos el caso más simple de modelo cuasi-estático esféricamente simétrico. Un proceso cuasiestático implica que la estrella sufre cambios a un ritmo lo suficientemente lento como para que el sistema mantenga el equilibrio termodinámico interno.

El Sol y otras estrellas de la secuencia principal se encuentran en un estado de equilibrio entre la gravedad que actúa para provocar la contracción y la presión de radiación de la fuente de energía en el núcleo, así como la presión del gas del material del Sol, que actúa para resistir la fuerza interna. .

El caso más simple de una gran nube densa de gas como el Sol, requiere 4 ecuaciones diferenciales de primer orden: dos de ellas describen cómo la presión y la masa del gas hidrógeno responden a los cambios de radio, así es como la presión y la masa varían a medida que avanzamos desde la superficie de la estrella hacia el núcleo. Las otras dos ecuaciones diferenciales se ocupan de la luminosidad (la energía liberada por la estrella) y la temperatura y cómo estas variables reaccionan a una reducción en el radio.

Utilizamos las siguientes variables:

Densidad de la materia${\displaystyle \rho (r)}$
Temperatura${\displaystyle T(r)}$
Presión total (materia más radiación)${\displaystyle P(r)}$
luminosidad${\displaystyle l(r)}$
junto con una variable que representa la tasa de generación de energía por unidad de masa${\displaystyle \epsilon (r)}$

Supongamos una capa esférica con un ancho de${\displaystyle {\mbox{d}}r}$A una distancia${\displaystyle r}$del centro de la estrella.

Otra suposición simplificadora es que se considera que el Sol se ajusta al equilibrio termodinámico local (LTE) y esto implica que la temperatura es idéntica para la materia y los fotones (radiación).

Puede plantear el punto de que LTE no puede ser una buena aproximación, ya que cuanto más nos adentramos en el Sol, mayor es la temperatura, pero esta suposición se mantiene porque la distancia en la que varía la temperatura es mucho mayor que el camino libre medio.${\displaystyle \lambda }$de los fotones que emergen del núcleo.

Se asume el equilibrio hidrostático como se mencionó anteriormente: la fuerza hacia afuera debida al gradiente de presión dentro de la estrella se equilibra exactamente con la fuerza hacia adentro debida a la gravedad.

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}r}=-\frac{GM_r\rho(r)}{r^2}\tag{Pressure}$

dónde${\displaystyle m(r)}$es la masa acumulada dentro del caparazón en${\displaystyle r}$y$G$es la constante gravitacional.

La masa acumulada aumenta con el radio de acuerdo con la ecuación de continuidad de masa:

$\frac{\mathrm{d}M_r}{\mathrm{d}r}=4\pi r^2\rho(r)\tag{Mass}$

Cuando integramos la ecuación anterior de$r=0$(el centro del Sol) a$r_s$, (la distancia superficial algo arbitraria), esto produce la masa total del Sol.

Ahora necesitamos saber cuánta energía emerge de la capa esférica.

$\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}r}=4\pi r^2\epsilon(r)\tag{Luminosity}$
Esta es la ecuación de la energía.

${\displaystyle \epsilon _{\nu }}$representa la luminosidad transportada, casi sin ninguna interacción en su viaje de larga distancia a través de la estrella, como neutrinos por unidad de masa.

Más allá de la región de fusión del núcleo, no se genera energía, por lo que la luminosidad es constante en esa región "exterior".

Entonces, ¿cómo escapa la energía del núcleo a través de la enorme masa de gas/plasma que se encuentra sobre él?

Ignoraremos el transporte de energía conductiva y nos ocuparemos del transporte de energía radiativa, que corresponde a la región interna de una estrella de secuencia principal de masa solar.

$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}=\frac{3\rho(r)\kappa(r)}{64\pi r^2\sigma[T(r)]^3}L(r)\tag{Temperature}$

dónde${\displaystyle \kappa }$es la opacidad de la materia,${\displaystyle \sigma }$es la constante de Stefan-Boltzmann y la constante de Boltzmann se establece en uno.

No tenemos un tratamiento riguroso de la tercera forma de transporte de energía, es decir, la convección. En el Sol, cerca del núcleo, la convección es adiabática (el calor no entra ni sale de la región), pero más cerca de la superficie, la convección no es adiabática. La teoría de la longitud de mezcla (que se puede comparar de manera análoga con el camino libre medio de un fotón, pero para bolsas de fluido) contiene dos parámetros libres que se deben establecer para que el modelo se ajuste a las observaciones.

Fuente (para toda esta respuesta, de una forma u otra) Estructura estelar de Wikipedia

Cualquier sistema termodinámico requiere ecuaciones de estado, que relacionan la presión, la opacidad y la tasa de generación de energía con otras variables locales, en el caso del Sol: temperatura, densidad, composición química, etc. Las ecuaciones de estado relevantes para la presión pueden tener que incluir la ley de los gases perfectos, presión de radiación, presión debida a la degeneración de electrones, etc. La opacidad no se puede expresar exactamente con una sola fórmula. Se calcula para varias composiciones a densidades y temperaturas específicas y se presenta en forma tabular.

Tres puntos importantes que nos impiden resolver todo lo relacionado con el Sol de una forma analítica clara son los métodos numéricos utilizados para calcular la opacidad y la ecuación de estado de la presión. Finalmente, la tasa de generación de energía nuclear se calcula a partir de experimentos de física nuclear.

Todas las ecuaciones diferenciales exigen condiciones de contorno, posiblemente la más importante de las cuales son los valores para$r$. Como la presión dentro del Sol es tan alta, parece justificable establecer la presión de la superficie en cero, y la temperatura de la superficie del Sol se mide fácilmente.

Entonces, a partir de estas ecuaciones, podemos estimar qué parte de la masa del Sol se ajusta a las condiciones necesarias para iniciar y mantener la fusión.

Entonces podemos verificar nuestras predicciones de la producción de energía del 10% de la masa del Sol contra la evidencia experimental.

En teoría, podríamos medir la salida de neutrinos, ya que estos pasan directamente a través del sol, como una verificación adicional, en la práctica, detectar neutrinos no es nada fácil. El hecho de que los primeros experimentos detectaran solo alrededor de un tercio del total esperado se denominó "problema de los neutrinos solares". Hiperfísica Neutrinos Solares