¿Cómo puede el espacio ser euclidiano cuando la luz se desvía?

He leído a personas que argumentan que las secciones espaciales tridimensionales del continuo espacio-tiempo (cualquiera que sea su número de dimensiones) parece ser euclidiana a partir de la evidencia empírica. No puedo reconciliarlo con mi entendimiento de que

  1. La masa si existe
  2. La masa curva el continuo del espacio-tiempo y las secciones del espacio 3D
  3. la flexión de la luz ha sido explicada por la curvatura del espacio-tiempo.
La teoría del espacio-tiempo y de su curvatura es la Relatividad General (RG). En GR, el espacio-tiempo es una variedad , que es un objeto geométrico que localmente se ve como R 3 , es decir, espacio euclidiano. No sé acerca de la evidencia experimental específica, pero deberían estar de acuerdo con esto.
Creo que es justo decir que la pregunta no es válida porque el espacio no es euclidiano en general.

Respuestas (3)

Se necesita tiempo para que la luz se desvíe, es decir, el desvío de la luz es una consecuencia de la curvatura de las geodésicas en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Por otro lado, una instantánea tridimensional del espacio parece tener geodésicas que son líneas rectas (algunos detalles se muestran a continuación). Esta es exactamente la razón por la que pensamos que el espacio era euclidiano durante tanto tiempo y por qué todos los experimentos terrestres a escala local encajan bien con la hipótesis de la geometría euclidiana.

Tomemos, por ejemplo, la métrica de Schwarzschild del espacio-tiempo alrededor de una masa esférica (tomada de Wikipedia):

d s 2 = ( 1 − r s r ) d t 2 − ( 1 − r s r ) − 1 d r 2 − r 2 ( d θ 2 + pecado 2 ⁡ θ d ϕ 2 )

Para r ≫ r s , el componente espacial de esta métrica es simplemente

d yo 2 = − d s 2 ∣ d t = 0 = d r 2 + r 2 ( d θ 2 + pecado 2 ⁡ θ d ϕ 2 )

que es solo la métrica euclidiana tridimensional en coordenadas esféricas. Por supuesto, esto es sólo aproximadamente euclidiano (y la aproximación se descompone para r ∼ r s ), pero fue suficiente para engañarnos a todos hasta Einstein.

Entonces, esto debería ser bastante fácil de conciliar con la evidencia empírica. Simplemente mire las cosas y pregúntese: "La geometría de la escuela secundaria funciona con bastante precisión, ¿no es así?".

Gracias Jwimberley. Primero de dos comentarios. Tengo dificultades con tu primera parte. De hecho: imaginando un observador y una estrella sentados diametralmente opuestos con respecto al Sol y el rayo de luz de la estrella detectado por el observador, no puedo evitar imaginar una trayectoria curva de rayo de luz (proyección en el plano ecuatorial celeste del sol del movimiento del rayo en el espacio-tiempo 4D ) – que es una geodésica espacial 2D que se curva en un espacio 2D cuando simplemente se observa desde un espacio euclidiano 3D. Seguramente me estoy perdiendo algo. gracias de nuevo
Gracias Jwimberley. Segundo de dos comentarios. Tengo dificultades con su uso de la métrica de Schwarzschild. Primero, estoy interesado en r del orden de rs; de lo contrario, tenemos un espacio plano de Minkowski. Luego, véase, por ejemplo, P. Collier, A Most Incomprehensible Thing, p. 255,6,7 : Para cada t fija, el espacio es una foliación de esferas, cierto. Sin embargo, dado que “r” no es “distancia propia (radial)”, los círculos no se comportan como en el espacio plano: la distancia espacial propia d entre dos circunferencias espaciales coplanares y concéntricas de longitudes 2r y 2r+dr ) no es dr sino dr/√(1-2m/r). Gracias de nuevo.
Perdón por la pérdida de caracteres: eran: distancia espacial dsigma; longitudes 2 Pi r y 2 Pi (r+dr). Gracias.
@massimo Estás complicando demasiado las cosas. El punto es que aunque su entendimiento #2 es cierto, la curvatura del espacio 3D no es mucha, excepto en escenarios extremos. También creo que está leyendo mal "parece ser euclidiano"; esto significa que el espacio es aproximadamente euclidiano, no exactamente euclidiano, dentro de la sensibilidad de la mayoría de los experimentos. Uno de esos experimentos: Ve a medir el área de un triángulo. Otro: enviar una sonda a Plutón con un sistema de navegación que asuma que el espacio 3D es euclidiano, como lo hace la NASA.
@massimo Si está interesado en r del orden de rs (que es solo un buen modelo cierto para los agujeros negros, porque la solución de Schwarzschild es inapropiada dentro de la estrella, y en particular en el radio de Schwarzschild, que es mucho menor que el radio de una estrella), entonces la naturaleza aproximadamente euclidiana del espacio se rompe. Definitivamente es una buena aproximación en escalas moderadas, lejos de los agujeros negros y las áreas de curvatura extrema y más pequeñas que las escalas del Hubble en las que el universo podría mostrar una curvatura positiva o negativa (aunque parece plano incluso allí).
Gracias Jwimberley. Primer comentario de dos. Acerca de Rs. Rs para el Sol es de 3 km. La R del Sol es de 700k km. Rs/R alrededor de 10exp(-6) que no es despreciable (en representación de la superficie del Sol). gracias
Gracias Jwimberley. Segundo comentario de dos. He renunciado al triángulo de medida para detectar  no euclidianas porque he visto que: sólo medimos intervalos de tiempo (de EW). El tiempo está sujeto a la relatividad especial y también se ve afectado por la presencia masiva. La distribución de masas se trata mediante la teoría de perturbaciones. Los valores de masa exactos son desconocidos para nosotros. Etc. Por lo tanto, no es posible establecer en qué medida todos estos factores pueden compensar/interferir en el cálculo de la (muy pequeña) curvatura del ESPACIO. gracias
@massimo, diría que las correcciones del orden de 10 ^ -6 son bastante insignificantes para la mayoría de los propósitos. Algo que afecta los cálculos en el sexto lugar decimal habría sido difícil de notar históricamente incluso si pudiéramos hacer experimentos en la superficie del Sol (sin decir que un experimento que pudiera medir esto no sería interesante e importante)

La declaración de que el espacio es euclidiano es una declaración amplia, no destinada a sostener cerca de cuerpos muy masivos o en volúmenes arbitrarios. Un sentido en el que puede entenderse es que se mantenga "en promedio" para todo el espacio-tiempo, el universo, como tal.

El mejor candidato para la métrica general del espacio-tiempo es la métrica FRLW , que es la solución exacta para un universo que es homogéneo e isotrópico (se ve igual en todos los puntos en todas las direcciones). A gran escala, la homogeneidad del Fondo Cósmico de Microondas sugiere que se trata de una buena aproximación a nuestro universo en general. esta escrito como

d s 2 = − d t 2 + a ( t ) 2 d Σ 2

módulo un signo global y un factor de C ajustado a 1 , dónde d Σ 2 es la métrica de un espacio tridimensional de curvatura uniforme. Ahora, hay tres tipos diferentes de espacio que podrían ser: un espacio hiperbólico (curvatura negativa), uno elíptico (curvatura positiva) o un espacio euclidiano (plano).

Estos se distinguen, efectivamente, por la forma en que se suman los ángulos en un triángulo. Ahora, mira el espacio que te rodea, en escalas astronómicas (así que saca un triángulo de las estrellas). Las observaciones de los astrónomos en este sentido han encontrado que no hay una indicación importante de que la parte del espacio del espacio-tiempo esté curvada en grandes escalas (aunque localmente, bien podría estarlo), aunque, debido a errores experimentales, por supuesto solo podemos decir que la curvatura es muy cercano a cero.

Otra forma de llegar al espacio euclidiano es hacer una aproximación de campo débil, es decir, estar lejos del radio de Schwarzschild de un cuerpo supermasivo.

El espacio se puede hacer arbitrariamente cerca de Minkowski (parte espacial euclidiana) eligiendo un cubo de espacio-tiempo lo suficientemente pequeño. Entonces, los volúmenes suficientemente pequeños son, en cierto sentido, exactamente euclidianos.
Gracias ACuriousMind. Informaste exactamente los argumentos que me dejaron perplejo, pero agregaste un distiguo fundamental para mí, "[...] no hay indicios importantes de que la parte espacial del espacio-tiempo esté curvada en grandes escalas (aunque localmente, bien podría estarlo) [ ...]" al decir "aunque localmente, bien puede ser" hiciste explícito mi punto: ¿no se ha verificado ya que el espacio localmente es curvo, por el hecho de que la trayectoria espacial del rayo de luz de una estrella es curva alrededor del Sol? ? Véase también mi respuesta al amable Jwimberley. gracias de nuevo
@massimo La curvatura de la luz alrededor del sol es la verificación de que el espacio-tiempo está curvado localmente, no el espacio . Por supuesto, el espacio es curvo, pero no mucho.
@jwimberley, Gracias, Entonces, ¿podemos estar de acuerdo en que el ESPACIO es curvo aunque "muy pequeño"?
Mi resumen de su amable cheque: PARTE1. Geometría del Espacio - Localmente: Nuestras ecuaciones, por ejemplo Schwarzschild, nos dicen que el ESPACIO es curvo en la proximidad de grandes masas. Sin embargo, a excepción de BH, la curvatura es demasiado pequeña para efectuar nuestros experimentos/aplicaciones.
Mi resumen de su amable cheque: PARTE 2. Geometría del espacio a nivel mundial: independientemente de que esté "ligeramente irregular" localmente, si observo todo el espacio, ¿es plano o curvo (como una esfera o un hiperboloide)? A esta pregunta NO TENEMOS ecuaciones y solo podemos decir lo que parece de las observaciones: que parece PLANO.
Deseo agradecer la estimulante discusión y agregar mi modesto comentario final. Nuestros modelos matemáticos (incluso tan simples como los de Schwarzschild) nos dicen que localmente el espacio es curvo, no euclidiano. A nivel cualitativo, esto marca una gran diferencia en nuestra comprensión de cuán radicales y complejos debemos ser para modelar el Universo. En cuanto a los aspectos cuantitativos, parecen ser insignificantes 1. HOY, pero seguro que no estaban en las primeras etapas de concentración de masa del Universo 2. Lejos de los cuerpos grandes 3. Para nuestras aplicaciones/herramientas de detección actuales. gracias a todos
@massimo Sí, creo que las declaraciones en sus últimos tres comentarios son todas correctas

Tienes toda la razón en que las secciones tridimensionales del espacio-tiempo no satisfacen la geometría euclidiana: no son planas. Sin embargo, son casi planas. En escalas del tamaño de una habitación, la curvatura es muy pequeña.

No sé el contexto exacto en el que lees que "las secciones espaciales tridimensionales del continuo espacio-tiempo (cualquiera que sea su número de dimensiones) parecen ser euclidianas a partir de la evidencia empírica", pero asumo que los escritores no afirmaban que las secciones espaciales realmente son euclidianas. (en el sentido de ser plano), según nuestro mejor entendimiento y con una precisión infinita. Solo querían decir que tales secciones parecen euclidianas cuando se observan usando métodos simples.

¿Cómo puede el espacio ser euclidiano cuando la luz se desvía?
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