¿Cómo podrían otras civilizaciones descubrir los números irracionales?

El primer número que se mostró irracional en nuestro mundo fue supuestamente la raíz cuadrada de 2. Sé que la irracionalidad de π probablemente esté fuera del alcance de una civilización que no ha descubierto la irracionalidad en absoluto, y e probablemente requiera límites incluso para comprender , pero ¿existen otros números irracionales de fácil acceso con los que la civilización pueda haber tropezado antes de la raíz cuadrada 2? ¿Cómo habrían encontrado la irracionalidad de ese número antes que la raíz de 2? Apostaría algo de dinero a la proporción áurea, pero no puedo estar seguro y no puedo pensar en el mecanismo.

Es igual de fácil demostrar que 5 es tan irracional como lo es demostrar que 2 es irracional (Y, entre otros, φ = ( 1 + 5 ) / 2 es la razón entre la diagonal de un pentágono regular y la longitud de un lado, al igual que 2 es la razón entre la diagonal de un cuadrado y la longitud de su lado).
... Y, por supuesto, es igualmente fácil demostrar que 3 es irracional, y puede provenir de la razón entre la altura de un triángulo equilátero y la longitud de un lado.
@AlexP 3 es también la razón de la diagonal del cuerpo de un cubo a la longitud de su lado.

Respuestas (3)

Por diferencias entre series convergentes

Creo que es una pregunta bastante difícil de responder con la etiqueta de ciencia dura, pero aquí están mis dos centavos.

Entonces, los pitagóricos antes de Hippapus de Metapontum creían que todos los números podían expresarse como si fueran todos racionales hasta que Hippapus demostró lo contrario según wikipeadia . (Perdón por la mala referencia, pero no puedo leer griego antiguo) Aparentemente, hay cierta discusión sobre si él fue el primero, pero el marco de tiempo es relativamente el mismo.

Lo importante aquí es que hoy en día lo llamamos la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 pero que se hizo en geometría pura. Vea Euclids Elements of Geometry para ver ejemplos. Entonces, para probar la irracionalidad, no necesitas álgebra. Dado que la mayoría de las pruebas giran en torno a una prueba lógica de contradicción al hacer que los lados sean pares y desiguales simultáneamente, tiene algunos requisitos previos.

Necesita una sociedad con conocimiento de pruebas lógicas, específicamente contradicciones, y una notación de números pares e impares. Además, probablemente ayudaría si su sociedad piensa erróneamente que todos los números son racionales y que tiene alguna pequeña unidad indivisible como base de los números.

Además de una prueba geométrica, creo que probablemente se podría hacer una prueba similar con comparaciones de series convergentes. Esto es una conjetura, pero creo que se podría hacer algo como la paradoja de Zeno para probar que los números pueden ser irracionales. Encontrar pruebas de que no todos los números son racionales de esta manera parece bastante lógico dado que ya se trata de números racionales cada vez más pequeños.

Cargas más raíces cuadradas

Si ha descubierto el Teorema de Pitágoras, encontrará muchos números irracionales como hipotenusas.

Dibuja un triángulo rectángulo con longitudes de lado de números enteros a , b y la hipotenusa tiene longitud a 2 + b 2 . Este número suele ser, aunque no siempre, irracional.

No creo que Pitágoras supiera álgebra. Pensé que hizo el argumento "original" para los trillizos pitagóricos puramente en términos de geometría.
@DJKlomp No sé sobre Pitágoras, pero los elementos de Euclides tienen el a 2 + b 2 = C 2 versión del teorema escrita verbalmente en términos de longitudes de los lados.
Lo siento, pero como dije, los antiguos griegos no tenían álgebra sino geometría. Sus pruebas en geometría se veían completamente diferentes y generalmente se traducen a nuestra álgebra moderna. Si se refiere a los Elementos de Geometría de Euclides, Libro 1, Proposición 47 (p46-47). ([Esta es la traducción que encontré:][ farside.ph.utexas.edu/books/Euclid/Elements.pdf] , no creo que haya un solo número al cuadrado en el libro, ciertamente no en la proposición 47. Llamando un cuadrado escrito verbalmente igual a un valor elevado a la segunda potencia es un salto y está muy lejos de cualquier cosa que se parezca a una raíz cuadrada, en mi opinión.
@DJKlomp Sí, una segunda potencia es muy diferente de una raíz cuadrada.

Como otros han mencionado, la prueba estándar de que 2 es irracional funciona igual de bien para 3 , 5 , ... por lo que su civilización probablemente estaría reflexionando 2 primero, ya que naturalmente viene primero en la secuencia.

El único otro candidato plausible que podría imaginar para un "primer irracional" requeriría un salto de imaginación mucho mayor para concebirlo: − 1 .

Pero tiene una prueba que posiblemente podría considerarse más fácil, o al menos ligeramente diferente:

Suponer − 1 eran racionales. Esto significa que

− 1 = pag q
para algunos enteros pag , q . Elevando al cuadrado ambos lados y limpiando denominadores, obtenemos − q 2 = pag 2 . Eso es, pag 2 + q 2 = 0 .

Esto solo se puede resolver en números enteros por pag = q = 0 , pero esta solución es inaceptable ya que q es un denominador y debe ser distinto de cero.

− 1 no es un número irracional. (Al menos, no es un número irracional en nuestras matemáticas y en cualquier tipo de matemática que tenga sentido). (Si es un entero gaussiano , también conocido como un entero complejo).
@AlexP Parece que no sabes qué es un número racional. Afortunadamente, lo deletreé en la respuesta. Léalo detenidamente. Un número irracional es un número que no es un número racional.
@Priska Podría definirlo de esa manera, pero esto es contrario a cómo se define y usa en todo el mundo: un número irracional es cualquier número real que no es un número racional.
@Priska No juegue juegos de palabras. La definición oficial que se enseña en los cursos de matemáticas es que los números irracionales son cualquier número real que no es racional. Hay una gran diferencia entre eso y "no es racional, entonces es irracional".
@Muschkopp OP hace esta pregunta en el contexto de encuentros iniciales con números exóticos. No asumiría que su uso de "irracional" tiene la intención de seguir la convención moderna, a menos que él lo diga. El descubrimiento del primer irracional sucedió miles de años antes de que se definieran los reales. Dejaré esto para que OP lo aclare.
Simplemente no estoy seguro de cómo una civilización extraña 2 y golpea en i primero, a menos que todos sus conocimientos matemáticos sean heredados, como en la serie Uplift de Brin , donde los galácticos consideran los números irracionales como una pintoresca peculiaridad de la humanidad.
@notovny No es el orden en el que me vería descubriendo cosas, pero OP está pidiendo formas alternativas plausibles de que las cosas podrían haber sucedido, y no quiere usar límites. No hay tantos números simples que se ajusten a este criterio, y − 1 es uno de los más cercanos que puedo pensar.
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