Como sabemos, la relación voltaje-corriente de un inductor de inductancia constante de dos terminales es:

$v_L(t) = L \, \dfrac{\mathrm di_L(t)}{\mathrm dt} \tag 1$

Logré probar esa ecuación sin considerar los signos ni la polaridad y la dirección del voltaje y la corriente . Sin embargo, en muchos libros de texto sobre análisis de circuitos y física, esa ecuación es válida para cualquier signo de voltaje, corriente y tasa de cambio de corriente, siempre que la polaridad de referencia del voltaje y la dirección de referencia de la corriente convencional se elijan como se muestra en la siguiente figura .

Figura 1. Dirección de referencia para la corriente y polaridad de referencia para el voltaje en un inductor. Fuente de la imagen: Análisis de circuitos de ingeniería (8ª ed.) por Hayt, Kemmerly y Durbin.

Entonces, estoy tratando de probar si la ecuación (1) realmente considera los signos y la polaridad de referencia y la dirección de referencia del voltaje, la corriente y la tasa de cambio de la corriente . Específicamente, como verá a continuación, tengo problemas para determinar la polaridad de la EMF o voltaje inducido (de modo que su valor numérico sea positivo) , dada la corriente y su tasa de cambio.

Lo esencial

Antes de mostrar mi intento, mencionaré brevemente dos hechos básicos que usaré: la regla de la mano derecha y la dirección del campo magnético inducido.

regla de la mano derecha

Como sabemos, se utilizan muchas reglas de la mano derecha en electromagnetismo (para la ley de fuerza de Lorentz, para la ley de Ampère, la regla de la mano derecha de Flemming, etc.). El que voy a usar es el que se usa para determinar la dirección del campo magnético inducido por una corriente convencional positiva a través de un inductor/solenoide/bobina cilíndrico, como se muestra en la siguiente figura.

Figura 2. La regla de la mano derecha #1: para el campo magnético inducido por una corriente convencional positiva en un inductor cilíndrico. Fuente de la imagen: enlace .

La regla anterior se puede utilizar para determinar la dirección del campo magnético si se da la dirección de la corriente, o viceversa.

Cambio en el campo magnético y la dirección del campo magnético inducido

Como sabemos, la ley de Faraday se basa en el cambio en el campo/flujo magnético, y la ley de Lenz dice que la FEM inducida será tal que se opondrá al cambio en el campo/flujo magnético, o en otras palabras, el campo magnético inducido es el negativo del cambio en el campo magnético original. El cambio en alguna cantidad se define como el valor final menos el valor inicial. Y para encontrar la diferencia$\mathbf u − \mathbf v$de dos vectores geométricamente, primero encontramos el negativo$− \mathbf v$del segundo vector$\mathbf v$, luego muévalo de manera que su cola esté en la cabeza del primer vector$\mathbf u$, y entonces la diferencia de los dos vectores originales es la suma$\mathbf u + (− \mathbf v)$, que es el vector que apunta desde la cola del primer vector$\mathbf u$a la cabeza del vector$− \mathbf v$. Con estos hechos podemos determinar la dirección del campo magnético inducido (el que se opone al campo magnético original), como se muestra a continuación.

Figura 3. Ley de Lenz: dirección del campo magnético inducido debido a un campo magnético creciente. Fuente de la imagen: propia.

Figura 4. Ley de Lenz: dirección del campo magnético inducido debido a un campo magnético decreciente. Fuente de la imagen: propia.

Mi intento

Vamos a utilizar la siguiente notación:$i(t)$será la corriente convencional a través del inductor impuesta por el circuito activo externo conectado a los terminales del inductor, cuyo sentido y signo numérico se supondrá conocido/dado;$\mathbf B(t)$será el campo magnético producido por la corriente$i$como lo describe la ley de Ampère, cuya dirección está descrita por el RHR (figura 2);$v_\text{ind}(t)$,$i_\text{ind}(t)$y$\mathbf B_\text{ind}(t)$serán el voltaje inducido/fem, la corriente convencional inducida y los campos magnéticos inducidos, respectivamente, por el cambio en el campo magnético$\mathbf B$tal como lo describe la ley de Faraday, y cuyas polaridades/direcciones están descritas por la ley de Lenz (figuras 3 y 4) y el RHR (figura 2);$v_L(t)$y$i_L(t)$será el voltaje y la corriente a través del inductor, respectivamente, de modo que su polaridad de referencia y dirección de referencia sean como se muestra en la figura 1.

Creo que muchos de nosotros estaremos de acuerdo en que una forma intuitiva de pensar sobre el orden en que ocurren los "eventos" es la siguiente: el actual$i$crea un campo magnético cambiante$\mathbf B$que induce un voltaje$v_\text{ind}$, que produce una corriente$i_\text{ind}$, que produce un campo magnético$\mathbf B_\text{ind}$. Entonces, en mi intento procederé de la siguiente manera: dado$i$y su tasa de cambio, encuentro el$\mathbf B$, entonces encuentro el cambio en$\mathbf B$, luego encuentro$\mathbf B_\text{ind}$, luego encuentro$i_\text{ind}$, y luego encuentro$v_\text{ind}$. Como verá a continuación, logré encontrar todas esas cantidades y entendí por qué tenían la dirección que tenían, excepto$v_\text{ind}$.

Ahora, explicaré mi intento.

Considere un inductor cilíndrico de inductancia constante de dos terminales. Consideremos cuatro escenarios diferentes: cuando la corriente positiva convencional fluye en una dirección y luego en la otra dirección, y cuando la corriente positiva convencional aumenta y luego disminuye. El inductor está conectado a un circuito activo externo que establece una corriente variable en el tiempo.$i(t)$en cada uno de los cuatro casos. Suponemos que tal corriente es convencional, es positiva, conocemos su dirección y sabemos si es creciente o decreciente. Esto se muestra en la siguiente figura.

Figura 5. Fuente de la imagen: propia.

Dado que hay corriente que fluye a través del inductor, de la ley de Ampère un campo magnético$\mathbf B(t)$se produce debido a esa corriente$i$, cuya dirección podemos determinar aplicando la RHR (figura 2) a cada uno de los cuatro casos; para hacer esto, asumimos que agarramos el inductor con nuestra mano derecha , de modo que nuestros dedos apunten en la dirección de la corriente $i$fluye a través del inductor, entonces nuestro pulgar apunta en la dirección del campo magnético $\mathbf B$ dentro del inductor. Aplicando esta regla a cada uno de los cuatro casos de la figura anterior:

• En los casos a) y b) , cuando miramos el inductor como se muestra en la figura anterior (y no, digamos, desde arriba o desde abajo o desde la parte trasera), vemos la corriente$i$fluye de izquierda a derecha, por lo que agarramos el inductor con la mano derecha de modo que nuestros dedos apunten hacia la derecha. Entonces nuestro pulgar apuntará hacia arriba, así que esa es la dirección del campo magnético.$\mathbf B$puntos dentro del inductor.

• En los casos c) y d) , cuando miramos el inductor como se muestra en la figura anterior, vemos la corriente$i$fluye de derecha a izquierda, por lo que agarramos el inductor con la mano derecha de modo que nuestros dedos apunten hacia la izquierda. Entonces nuestro pulgar apuntará hacia abajo, así que esa es la dirección del campo magnético.$\mathbf B$puntos dentro del inductor.

Así obtenemos la dirección del campo magnético que se muestra en la siguiente figura.

Figura 6. Fuente de la imagen: propia.

Porque asumimos la corriente$i$varía en el tiempo, el campo magnético$\mathbf B$producido por él también varía con el tiempo, por lo que el flujo magnético$\Phi(t)$también varía con el tiempo, por lo que, según la ley de Faraday, una EMF$v_\text{ind}(t)$es inducido a través del inductor. Para encontrar la polaridad de tal EMF o voltaje, primero encontramos la dirección de la corriente$i_\text{ind}(t)$tal EMF trata de establecer, que determinamos usando la ley de Lenz. Entonces, si bien nuestro objetivo es encontrar la polaridad de la EMF inducida, primero encontramos la dirección del campo magnético inducido, en segundo lugar, encontramos la dirección de la corriente inducida que produjo dicho campo magnético inducido, y en tercer lugar, encontramos la polaridad del campo magnético inducido. EMF producido por el campo magnético cambiante original. Primero, encontramos el cambio$\mathrm d \mathbf B$en el campo magnético.

• En el caso a) , el campo magnético apunta hacia arriba dentro del inductor, y la corriente aumenta, por lo que el campo magnético también aumenta, hasta el punto de cambio hacia arriba (figura 3).

• En el caso b) , el campo magnético apunta hacia arriba dentro del inductor, y la corriente disminuye, por lo que el campo magnético también disminuye, hasta el punto de cambio hacia abajo (figura 4).

• En el caso c) , el campo magnético apunta hacia abajo dentro del inductor, y la corriente aumenta, por lo que el campo magnético también aumenta, hasta el punto de cambio hacia abajo (figura 3).

• En el caso d) , el campo magnético apunta hacia abajo dentro del inductor, y la corriente está disminuyendo, por lo que el campo magnético también está disminuyendo, hasta el punto de cambio hacia arriba (figura 4).

Así obtenemos la dirección del cambio en el campo magnético que se muestra en la siguiente figura.

Figura 7. Fuente de la imagen: propia.

El voltaje$v_\text{ind}$inducido a través del inductor de acuerdo con la ley de Faraday debido al campo magnético variable en el tiempo$\mathbf B$intentará establecer una corriente$i_\text{ind}$, que a partir de la ley de Ampère produciría un campo magnético$\mathbf B_\text{ind}(t)$cuya dirección según la ley de Lenz intentará oponerse al cambio$\mathrm d \mathbf B$en el campo magnético original$\mathbf B$. Para poder$\mathbf B_\text{ind}$oponerse$\mathbf B$, el primero debe apuntar en dirección opuesta al segundo.

• En el caso a) , el cambio en el campo magnético original apunta hacia arriba, por lo que el campo magnético inducido apunta hacia abajo.

• En el caso b) , el cambio en el campo magnético original apunta hacia abajo, por lo que el campo magnético inducido apunta hacia arriba.

• En el caso c) , el cambio en el campo magnético original apunta hacia abajo, por lo que el campo magnético inducido apunta hacia arriba.

• En el caso d) , el cambio en el campo magnético original apunta hacia arriba, por lo que el campo magnético inducido apunta hacia abajo.

Así obtenemos la dirección del campo magnético inducido que se muestra en la siguiente figura.

Figura 8. Fuente de la imagen: propia.

En segundo lugar, encontramos la dirección de la corriente inducida aplicando el RHR (figura 2), excepto que ahora, a diferencia de la figura 5, conocemos la dirección del campo magnético y queremos encontrar la dirección de la corriente . Para aplicar esta regla, asumimos que agarramos el inductor con nuestra mano derecha , de modo que nuestro pulgar apunte en la dirección del campo magnético inducido . $\mathbf B_\text{ind}$ dentro del inductor, entonces nuestros dedos apuntan en la dirección de la corriente inducida $i_\text{ind}$está fluyendo a través del inductor. Aplicando esta regla a cada uno de los cuatro casos de la figura anterior:

• En los casos a) y d) , cuando miramos el inductor como se muestra en la figura anterior, vemos el campo magnético inducido$\mathbf B_\text{ind}$fluye hacia abajo dentro del inductor, así que tomamos el inductor con nuestra mano derecha de modo que nuestro pulgar apunte hacia abajo. Luego, nuestros dedos apuntarán hacia la izquierda, de modo que esa es la dirección en la que la corriente inducida$i_\text{ind}$está fluyendo a través del inductor.

• En los casos b) y c) , cuando miramos el inductor como se muestra en la figura anterior, vemos el campo magnético inducido$\mathbf B_\text{ind}$fluye hacia arriba dentro del inductor, así que tomamos el inductor con nuestra mano derecha de modo que nuestro pulgar apunte hacia arriba. Entonces nuestros dedos apuntarán a la derecha, así que esa es la dirección en la que la corriente inducida$i_\text{ind}$está fluyendo a través del inductor.

Así obtenemos la dirección de la corriente inducida que se muestra en la siguiente figura.

Figura 9. Fuente de la imagen: propia.

Hasta ahora, todo bien; no tengo ninguna duda El único paso que falta es encontrar la polaridad del voltaje inducido$v_\text{ind}$. No sé cómo hacer esto, aquí es donde estoy atascado .

Sin embargo, me di cuenta/observé algo. Parece que debemos asignar la polaridad de referencia de$v_\text{ind}$tal que la corriente inducida$i_\text{ind}$fluye desde un potencial más alto (la terminal marcada con el "$+$" signo de$v_\text{ind}$) para reducir el potencial (el terminal marcado con el "$-$" signo de$v_\text{ind}$) a través del circuito activo externo . (Equivalentemente, la corriente inducida$i_\text{ind}$fluye desde un potencial más bajo [la terminal marcada con el "$-$" signo de$v_\text{ind}$] a un potencial más alto [la terminal marcada con el "$+$" signo de$v_\text{ind}$] a través del inductor .) Pero no sé por qué es correcto, y me gustaría saberlo .

Puede preguntar cómo estoy seguro de que mi observación anterior es correcta. La razón es que si asumimos que es correcta, entonces, como mostraré más adelante, la ecuación (1) de hecho considera el signo de$v$y el signo de la tasa de cambio de$i$.

Así que supongamos que la observación anterior es correcta. Entonces, en la figura anterior:

• En los casos a) y d) , la corriente inducida$i_\text{ind}$fluye hacia el circuito activo a través de la terminal superior , por lo que el voltaje inducido$i_\text{ind}$tiene la polaridad de referencia positiva en el terminal superior .

• En los casos b) y c) , la corriente inducida$i_\text{ind}$sale del circuito activo a través de la terminal superior , por lo que fluye hacia el circuito activo a través de la terminal inferior , por lo que el voltaje inducido$i_\text{ind}$tiene la polaridad de referencia positiva en el terminal inferior .

De esta forma obtenemos la polaridad del voltaje inducido que se muestra en la siguiente figura.

Figura 10. Fuente de la imagen: propia.

Ahora que hemos obtenido la polaridad del voltaje inducido$v_\text{ind}$(tal que su valor numérico es positivo) y conocemos el sentido de la corriente$i$(tal que su valor numérico sea positivo) así como el signo de la tasa de cambio de$i$, deshagámonos de los detalles irrelevantes en la figura anterior (campos magnéticos, corriente inducida). Además, cambiemos la dirección de referencia de la corriente (que también cambia de signo) y la polaridad de referencia del voltaje (que también cambia de signo) de manera que la dirección de referencia de la corriente siempre apunte hacia el inductor en la terminal superior y tal que la polaridad de referencia del voltaje es positiva en la terminal superior. Así obtenemos la siguiente figura.

Figura 11. Fuente de la imagen: propia.

Observe que cada caso de la figura anterior tiene la dirección de referencia para la corriente y la polaridad de referencia para el voltaje, de modo que la punta de flecha apunta hacia el inductor hacia la terminal de referencia positiva. En otras palabras, los cuatro casos satisfacen la dirección de referencia y la polaridad de referencia que se muestran en la figura 1.

• En el caso a) ,$i_L(t) = i(t)$y$v_L = v_\text{ind}(t)$.

• En el caso b) ,$i_L(t) = i(t)$y$v_L = -v_\text{ind}(t)$.

• En el caso c) ,$i_L(t) = -i(t)$y$v_L = -v_\text{ind}(t)$.

• En el caso d) ,$i_L(t) = -i(t)$y$v_L = v_\text{ind}(t)$.

Así obtenemos la siguiente figura.

Figura 12. Fuente de la imagen: propia.

Por último, de la ecuación (1) , ya que$L$es siempre un parámetro positivo, el signo del lado derecho depende solo de (y es el mismo que) el signo de$\mathrm di_L/ \mathrm dt$. Por lo tanto, esta ecuación requiere que$v_L$debe tener el mismo signo que$\mathrm di_L/ \mathrm dt$. Veamos si esto se cumple en cada caso de la figura anterior:

• En el caso a) ,$\mathrm di_L(t)/\mathrm dt > 0$y$v_L > 0$.

• En el caso b) ,$\mathrm di_L(t)/\mathrm dt < 0$y$v_L < 0$.

• En el caso c) ,$\mathrm di_L(t)/\mathrm dt > 0$y$v_L < 0$.

• En el caso d) ,$\mathrm di_L(t)/\mathrm dt < 0$y$v_L > 0$.

Aviso de hecho$v_L$y$\mathrm di_L(t)/\mathrm dt$tienen el mismo signo para cada caso. Por lo tanto, la ecuación$v_L(t) = L \, \mathrm di_L(t)/ \mathrm dt$de hecho tiene en cuenta los signos de$v_L$,$i_L$y$\mathrm di_L/ \mathrm dt$, proporcionó la dirección de referencia para$i_L$y la polaridad de referencia para$v_L$se eligen como se muestra en la figura 1.

Por cierto, observe en la figura 10 que otra forma de formular mi pregunta es: ¿ por qué la corriente$i$fluye de un potencial más alto a un potencial más bajo a través del inductor cuando está aumentando (casos a) y c) , y ¿por qué fluye de un potencial más bajo a un potencial más alto a través del inductor cuando está disminuyendo (casos b) y d) ?

Encontré esta pregunta , que es esencialmente la misma que la mía. El usuario Farcher explicó en su respuesta cómo obtener la dirección de$i_\text{ind}$(tal que su valor numérico sería positivo). Asumieron una corriente creciente (y positiva) creciente$i$, y obtuve el mismo resultado que yo (figura 10, casos a) y c) ), a saber, que la corriente$i$fluye de positivo a negativo dentro del inductor. Al obtener la polaridad de$v_\text{ind}$(tal que su valor numérico es positivo), decían en los comentarios la corriente inducida$i_\text{ind}$fluye de negativo a positivo dentro del inductor, ya sea que la corriente$i$es creciente o decreciente, que es lo mismo que mi resultado.

Su explicación de la polaridad del voltaje inducido se basó en una analogía con una batería: dentro de una batería, la corriente fluye de negativo a positivo. Sin embargo, eso es cierto solo cuando la batería está suministrando energía al circuito (ha sido descargada/desenergizada), no es cierto cuando la batería está consumiendo energía del circuito (ha sido recargada/reenergizada) en cuyo caso la corriente fluye de positivo a negativo dentro de la batería. Mientras que en el caso del inductor, en los casos a) y c) el inductor consume/almacena energía (y$i_\text{ind}$fluye de negativo a positivo dentro del inductor, como se esperaba de la comparación con la batería), pero en los casos b) y d) el inductor suministra/libera energía (y sin embargo$i_\text{ind}$alambiques fluye de negativo a positivo dentro del inductor, a diferencia de la batería). Así que no estoy satisfecho/convencido con el razonamiento de Farcher.