¿Cuál es la prueba completa de que la velocidad de la luz en el vacío es constante en la mecánica relativista?

En los principios fundamentales he leído que la velocidad de la luz es constante ya que podemos calcularla a partir de las ecuaciones de Maxwell.

El hecho de que la velocidad de la luz pueda deducirse de las ecuaciones de Maxwell no implica , por sí mismo, que la velocidad de la luz sea constante en todos los marcos de referencia. Ciertamente, las ecuaciones no hacen una referencia obvia a un marco de referencia; pero una vez que haya hecho la conexión entre los campos eléctricos y magnéticos y la luz, parece bastante obvio cuál es el marco de descanso "natural" (el mío en negrita):

Difícilmente podemos evitar la inferencia de que la luz consiste en las ondulaciones transversales del mismo medio que es la causa de los fenómenos eléctricos y magnéticos.

– James Clerk Maxwell, Sobre las líneas físicas de la fuerza

En otras palabras, uno podría imaginar fácilmente un mundo en el que las ecuaciones de Maxwell solo son válidas en el marco de reposo del éter luminífero, y desde aproximadamente 1860-1905, este es precisamente el universo en el que los físicos pensaron que vivíamos. En tal universo, las ecuaciones de Maxwell de hecho se verían diferentes en diferentes marcos de referencia; una versión "completa" de estas ecuaciones incluiría términos que dependieran de la velocidad de un observador$\vec{v}$con respecto al éter. No hay nada matemáticamente inconsistente en las ecuaciones que describen tal Universo.

Sin embargo, estas ecuaciones son inconsistentes con dos cosas: (1) evidencia experimental y (2) nuestro sentido de simetría. El experimento de Michelson-Morley fue diseñado para detectar el movimiento de la Tierra en relación con el éter; en otras palabras, para verificar indirectamente la presencia de estos$\vec{v}$-términos dependientes en las hipotéticas ecuaciones de Maxwell. Por supuesto, se quedaron cortos.

El otro problema es que parece haber muchas coincidencias convenientes entre lo que parecen ser los mismos fenómenos descritos en diferentes marcos de referencia:

Se sabe que la electrodinámica de Maxwell, tal como se entiende habitualmente en la actualidad, cuando se aplica a los cuerpos en movimiento, conduce a asimetrías que no parecen ser inherentes a los fenómenos. Tomemos, por ejemplo, la acción electrodinámica recíproca de un imán y un conductor. El fenómeno observable aquí depende sólo del movimiento relativo del conductor y del imán, mientras que la visión habitual establece una clara distinción entre los dos casos en los que uno u otro de estos cuerpos está en movimiento. Porque si el imán está en movimiento y el conductor en reposo, surge en la vecindad del imán un campo eléctrico con cierta energía definida, produciendo una corriente en los lugares donde se encuentran las partes del conductor. Pero si el imán está estacionario y el conductor en movimiento, no surge ningún campo eléctrico en la vecindad del imán. En el conductor, sin embargo, encontramos una fuerza electromotriz, a la que en sí misma no le corresponde energía, pero que da lugar, suponiendo igualdad de movimiento relativo en los dos casos discutidos, a corrientes eléctricas de la misma trayectoria e intensidad que las producidas. por las fuerzas eléctricas en el primer caso.

Ejemplos de este tipo, junto con los intentos fallidos de descubrir cualquier movimiento de la tierra en relación con el "medio ligero", sugieren que los fenómenos de la electrodinámica, así como de la mecánica, no poseen propiedades correspondientes a la idea de reposo absoluto.

— Albert Einstein, Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento

O, para resumir: si muevo una bobina cerca de un imán, el campo magnético hace que fluyan las cargas. Si muevo un imán cerca de una bobina, el campo magnético cambiante provoca un campo eléctrico, lo que hace que fluyan las cargas. Estas dos descripciones parecen muy diferentes y, sin embargo, de alguna manera dan lugar a exactamente la misma cantidad de corriente en la bobina. El argumento de Einstein era que esto no podía ser una coincidencia y que solo debería importar la velocidad relativa.

Si acepta eso, encontrará (como lo hizo Einstein) que cuando ingresa a otro marco de referencia, los campos eléctrico y magnético se entremezclan entre sí. Si observa el enlace anterior al artículo original de Einstein, §6 describe cómo los campos eléctricos y magnéticos se transforman entre sí. Su notación es un poco anticuada, lo que él llama$(X, Y, Z)$hoy en día solemos llamar$(E_x, E_y, E_z)$, y lo que él llama$(L, M, N)$normalmente llamaríamos$(B_x, B_y, B_z)$. En diferentes marcos de referencia que se mueven entre sí en el$x$-dirección, todos estos componentes cambian, y los componentes$E_y$,$E_z$,$B_y$, y$B_z$mezclarse unos con otros. En otras palabras, las intensidades de campo eléctrico y magnético observadas por el observador A y el observador B no son necesariamente las mismas.

Estas transformaciones entre los campos son una consecuencia necesaria del postulado de que las leyes de la física son las mismas en todos los marcos de referencia. Pero las ecuaciones de Maxwell no implican necesariamente que las leyes de la física sean todas iguales en dichos marcos de referencia; son agnósticos en el tema. Históricamente, los físicos originalmente creían que, de hecho, había un marco privilegiado en el que las ecuaciones de Maxwell se mantenían exactamente, y fue solo después de una cuidadosa experimentación y cuidadosa reflexión que descubrimos que las ecuaciones de Maxwell también eran consistentes con el principio de la relatividad.

Es un axioma basado en la observación. Hasta donde yo sé, eso significa que no se puede probar.

Además, las ecuaciones de Maxwell son relativísticamente covariantes. Lo que debe tener en cuenta es que el campo eléctrico y magnético se mezclan por transformaciones de Lorentz. Piense en la ley de fuerza sobre una carga en movimiento:

$$\mathbf{F} = q \mathbf{E} + q\mathbf{v}\times \mathbf{B}.$$

Ahora, imagina que hay una carga moviéndose a gran velocidad$\mathbf{v}$a través de algún campo magnético, y no hay campo eléctrico. Verás que la carga se acelera bajo la influencia de la fuerza magnética, curvando su camino. Ahora, imagina lo que un observador también se mueve a$\mathbf{v}$, instantáneamente, ve. Ese observador ve una carga instantáneamente estacionaria, por lo que no puede experimentar una fuerza magnética. Sin embargo, ese observador tiene que ver la carga acelerarse de alguna manera, porque tú la viste acelerar. Ese solo puede ser el caso si ese observador piensa que hay campos eléctricos y magnéticos presentes.

Como se mencionó en otras respuestas, las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo las transformaciones de Lorentz. La forma más fácil de ver esto es escribirlos en una forma manifiestamente covariante. Este formulario es:

$$\begin{align} \partial_\mu F^{\mu\nu} &= j^\nu \\ \partial^\tau F^{\mu\nu}+\partial^\mu F^{\nu\tau} + \partial^\nu F^{\tau\mu}&=0 \end{align}$$ dónde $F^{\mu\nu}$es el tensor electromagnético (que contiene campo eléctrico y magnético en una matriz de 4x4), $j^\mu$es la corriente de cuatro (que contiene la densidad de carga y la densidad de corriente en un vector de cuatro) y unidades naturales $\epsilon_0 = \mu_0 = c=1$se utilizan en aras de la simplicidad.

tensor electromagnético$F^{\mu\nu}$se da en términos de cuatro potenciales $A^\mu$(que contiene potencial eléctrico (escalar) y magnético (vector)) está relacionado con$F^{\mu\nu}$a través de

$$\begin{equation} F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu \end{equation}$$ y cuando lo enchufas $\partial_\mu F^{\mu\nu} = j^\nu$sin fuentes ( $j^\mu=0$), usted obtiene $$\begin{equation} \Box A^\mu-\partial^\mu(\partial\cdot A)=0. \end{equation}$$ Sin embargo, hay múltiples opciones de $A^\mu$que dan lo mismo $F^{\mu\nu}$. Transformación $A^\mu \to A^\mu+\partial^\mu \xi$, dónde $\xi$es una función escalar, hojas $F^{\mu\nu}$sin cambios y se llama "transformación de calibre". Si tomas el original $A^\mu$y hacer una transformación de calibre con $\xi=\partial\cdot A$, obtienes algo llamado "calibre Lorentz", caracterizado por $\partial\cdot A=0$. En el calibre de Lorentz, la ecuación anterior se simplifica a $$\begin{equation} \Box A^\mu=0 \end{equation}$$ que es una ecuación de onda para ondas que se mueven a la velocidad $c$. Por lo tanto, de las ecuaciones de Maxwell se sigue que la radiación electromagnética, incluida la luz, viaja a la velocidad $c$en el vacío

Las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo las transformaciones de Lorentz, lo que es lo mismo que decir que siguen la relatividad especial.

Puede intentar convencerse a sí mismo transformándose a otro marco de referencia inercial$S'$y derivando la ecuación de onda de los campos, debe encontrar que$c' = c$

Se puede deducir la forma de la transformación de Lorentz, sin poder fijar un valor para$c$, como el único miembro experimentalmente consistente de un pequeño puñado de posibles transformaciones necesariamente lineales que se derivan de los postulados básicos de homogeneidad, isotropía y continuidad del espaciotiempo junto con el principio de Galileo de que solo se puede detectar el movimiento relativo entre diferentes observadores inerciales.

Una vez que conoce la transformación de Lorentz, debe seguir que cualquier cosa que se mueva a la velocidad$c$debe ser medido para moverse a la misma velocidad por todos los observadores inerciales.

Esto no es una prueba, por supuesto; es simplemente mostrar que la constancia de$c$postulado puede ser reemplazado por otros axiomas. Pero no deja de ser interesante que se pueda hacer este reemplazo, ya que los otros axiomas son mucho más cotidianos e intuitivamente obvios. Este es el enfoque de Ignatowski . Ver, por ejemplo, mi respuesta aquí o los documentos:

Jean-Marc Lévy-Leblond, "Una derivación más de la transformación de Lorentz", Am. J. Ph. 44

Palash B. Pal, "Nada más que relatividad", Eur.J.Phys.24:315-319,2003

La implicación del argumento de Einstein en su artículo de 1905, aclarado por Bondi en Relativity and Common Sense , es que la definición de coordenadas está determinada por la velocidad de la luz. En particular, la definición moderna del metro depende de la velocidad de la luz. Entonces se sigue directamente del principio general de la relatividad, que las leyes de la física son las mismas en todos los marcos de referencia, que la velocidad (local) de la luz es la misma en todos los marcos de referencia.

Bondi usa el método de radar, que lo hace explícito, pero también señala que la fuerza electromagnética se describe en QED por intercambio de fotones. Así, la estructura de una regla depende esencialmente del mismo proceso.

“… la longitud de una varilla rígida está determinada por las interacciones eléctricas de los átomos y, por lo tanto, de hecho, por una superposición de métodos de radar”. — Hermann Bondi, Relatividad y sentido común .

Desde este punto de vista

“Entonces, con nuestra perspectiva moderna y tecnología moderna, el experimento de Michelson-Morley es una mera tautología” . Hermann Bondi, Asunción y Mito en la Teoría Física .

No hay prueba , porque la constancia e invariancia de la velocidad de la luz en el espacio es un axioma .

Dimos por sentado que C es una velocidad constante e invariable (y también el límite de velocidad en el Universo) y luego hicimos la pregunta:

" ¿Cómo sería un Universo con C siendo de tales cualidades? "

Y así, Einstein creó su teoría de la relatividad, que es una búsqueda de la comprensión de tal Universo. Si nuestro Universo es o no como el que describió Einstein, es tema de debate; La búsqueda de Einstein fue solo para ver cómo se comporta cualquier Universo que C tenga esas cualidades dadas;

Hasta ahora, hemos demostrado (con la precisión que brindan nuestros instrumentos) que nuestro Universo se parece al Universo matemático que Einstein creó en su teoría de la relatividad. Entonces, de eso podemos deducir que la teoría de la relatividad de Einstein es útil . Y eso es todo lo que la física puede hacer por nosotros, sin entrar en el terreno de la filosofía.

¿Existe una prueba externa de las cualidades de la velocidad de la luz? No lo sabemos todavía ; Tendríamos que salir del espacio y el tiempo para hacer una pregunta tan profunda, y hasta ahora ninguna teoría ha sido capaz de hacer eso...

La física está todavía en su infancia.