¿Cómo obtener las condiciones iniciales para obtener imágenes del agujero negro de Kerr?

Estoy leyendo Gravitational Lensing by Spinning Black Holes in Astrophysics, y en la película Interstellar para hacer un código de trazado de rayos para obtener imágenes de los agujeros negros de Kerr. El documento presenta un Fiducial Observer perpendicular a las foliaciones temporales del agujero negro de Kerr con coordenadas Boyer-Lindquist y una cámara con su propio sistema de referencia. La relación entre este sistema de referencia se representa en esta imagen del artículo:

Sistema de referencia de la cámara y FIDO

El documento proporciona en el Apéndice A.1 una forma de transformar las condiciones iniciales en el sistema de referencia de la cámara al sistema de referencia Fiducial Observer. Esto se hace de la siguiente manera:

  1. Especificar la ubicación de la cámara ( r C , θ C , ϕ C ) , y su velocidad β y los componentes B r , B θ , B φ de su dirección de movimiento en relación con el FIDO en su ubicación; y especificar la dirección entrante del rayo ( θ C s , ϕ C s ) en el cielo local de la cámara.
  2. Calcule, en el marco de referencia adecuado de la cámara, los componentes cartesianos (la figura superior) del vector unitario norte que apunta en la dirección del rayo entrante
    norte X = pecado ⁡ θ C s porque ⁡ ϕ C s , norte y = pecado ⁡ θ C s pecado ⁡ ϕ C s , norte z = porque ⁡ θ C s
    .
  3. Usando las ecuaciones para la aberración relativista, calcule la dirección de movimiento del rayo entrante, norte F , medido por el FIDO en coordenadas cartesianas alineadas con las de la cámara:
    norte F y = − norte y + β 1 − β norte y , norte F X = − 1 − β 2 norte X 1 − β norte y , norte F z = − 1 − β 2 norte z 1 − β norte y
    4. A partir de estos, calcule los componentes de nF en la base ortonormal esférica de FIDO :
    norte F r = B ϕ k norte F X + B r norte F y + B r B θ k norte F z
    norte F θ = B θ norte F y − k norte F z
    norte F ϕ = − − B r k + B ϕ norte F y + B θ B ϕ k norte F z

dónde k = 1 − B θ 2 = B r 2 + B ϕ 2 .

La pregunta es cómo obtener las ecuaciones en el punto 4 (estas últimas ecuaciones). No sé cómo relacionar el sistema de referencia de FIDO con el de la cámara. Sé que la relación está en la imagen, pero no sé cómo obtener correctamente estas ecuaciones.

¿Puede proporcionar un cálculo detallado de cómo llegar a estas últimas ecuaciones?

Toda la información que falta en esta pregunta se puede encontrar en el documento.

Respuestas (1)

En última instancia, solo estamos convirtiendo entre un sistema de coordenadas esféricas y uno cartesiano. Intentaré ceñirme a la notación del artículo, con un cambio fundamental: los componentes de los vectores se denotarán con superíndices, mientras que los subíndices se reservarán para identificar a qué vector de un conjunto se hace referencia.

tenemos un vector norte (también conocido como norte F ), y conocemos sus componentes en coordenadas cartesianas norte X , norte y , norte z . Queremos sus coordenadas esféricas norte r ^ , norte θ ^ , norte ϕ ^ . Los vectores base para el sistema cartesiano son mi X , mi y , mi z , y para el sistema esférico son mi r ^ , mi θ ^ , mi ϕ ^ , donde los sombreros nos recuerdan que se trata de una base ortonormal en lugar de la base de coordenadas ortogonales igualmente comunes. 1 Necesitamos expresar una base en términos de la otra, donde podemos suponer que tenemos los componentes B r ^ , B θ ^ , B ϕ ^ del vector unitario B indicando la dirección de movimiento de la cámara. 2 La definición precisa de la base se da en §2.1, punto (iii) del documento.

El procedimiento se puede realizar en estos pasos:

  1. Definir mi y = B . Entonces podemos escribir trivialmente mi y en nuestra base esférica:

    (1) mi y = B r ^ mi r ^ + B θ ^ mi θ ^ + B ϕ ^ mi ϕ ^ .

  2. Buscamos las componentes esféricas de mi X . Desde que tomamos mi X ∈ durar ⁡ ( mi r ^ , mi ϕ ^ ) , sabemos que podemos escribir mi X = mi X r ^ mi r ^ + mi X ϕ ^ mi ϕ ^ . Tenemos las restricciones de ortogonalidad y normalización

    0 = mi y ⋅ mi X = B r ^ mi X r ^ + B ϕ ^ mi X ϕ ^ 1 = mi X ⋅ mi X = ( mi X r ^ ) 2 + ( mi X ϕ ^ ) 2 .
    Resolviendo este sistema de ecuaciones nos dice
    (2) mi X = B ϕ ^ k mi r ^ − B r ^ k mi ϕ ^ ,
    donde se hizo una elección de signo arbitraria.

  3. Dos restricciones de ortogonalidad, una restricción de normalización y otra elección de signo (que determina la relación de lateralidad entre los sistemas de coordenadas) determinan las tres componentes esféricas de mi z . Las ecuaciones son

    0 = mi y ⋅ mi z = B r ^ mi z r ^ + B θ ^ mi z θ ^ + B ϕ ^ mi z ϕ ^ 0 = mi X ⋅ mi z = B ϕ ^ k mi z r ^ − B r ^ k mi z ϕ ^ 1 = mi z ⋅ mi z = ( mi z r ^ ) 2 + ( mi z θ ^ ) 2 + ( mi z ϕ ^ ) 2
    Resolviendo este sistema se obtiene
    (3) mi z = B r ^ B θ ^ k mi r ^ − k mi θ ^ + B θ ^ B ϕ ^ k mi ϕ ^ .

  4. Finalmente, ensamblamos los coeficientes de (1), (2) y (3). Por ejemplo,

    norte r ^ = mi X r ^ norte X + mi y r ^ norte y + mi z r ^ norte z = B ϕ ^ k norte X + B r ^ norte y + B r ^ B θ ^ k norte z .

1 Por base de coordenadas me refiero a aquella en la que mi r escalas proporcionales a r , así por ejemplo tenemos ‖ mi r ‖ = r en lugar de ‖ mi r ^ ‖ = 1 . Tal base sería conveniente si estuviéramos viendo vectores que se originan en diferentes puntos (como de hecho se hace cuando se integran las geodésicas nulas), pero dado que solo estamos considerando vectores unitarios direccionales en un solo punto (la ubicación de la cámara), no podemos No tengo mucho que perder haciendo nuestra base ortonormal.

2 Que esta sea la dirección del movimiento no es relevante para esta derivación.

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