¿Cómo obtenemos la frecuencia compleja de una función sinusoidal amortiguada exponencialmente?

En mi libro de texto, Engineering Circuit Analysis 8.Ed by William H. Hayt (Capítulo 14, Sección 14.1, página 536), me topé con una sección que explica la frecuencia compleja. El objetivo es cubrir el concepto de frecuencia compleja cuando se trata de funciones sinusoidales exponencialmente amortiguadas.

frecuencia_compleja

¿CÓMO PASÓ ESTO?

  1. Como lo hizo mi σ t convertirse mi j σ t ¿inesperadamente?
  2. ¿Y por qué mi j ( ω t ) convertirse mi j ( j ω t ) ? Cualquier ayuda sería muy apreciada.
¿Podrías echar otro vistazo a tus preguntas? Parece que no hay diferencia entre las dos cosas... el original y la versión "convertida".
@elliotAlderson Lo acabo de editar.
Parece todo jodido.
@Andyaka Realmente lo hace. Aquí hay una imagen de la sección para que la vea: my.pcloud.com/publink/…
Debes publicar esa foto en tu pregunta para darle autenticidad.
¿Has intentado buscar en Google para ver si ese error se ha encontrado antes?
@Andyaka ¿Qué error? No veo uno, fuera de la mano. Me parece sencillo. Las preguntas hechas por el OP se ven mal. Pero no el material del libro citado.
@jonk el error mencionado en la pregunta del operador.
@Andyaka Quizás no entiendo la pregunta del OP. Dame un minuto. Voy a escribir lo que creo que está pasando. Tal vez solo entendí mal.
@jonk, eres el tipo al que acudir para llegar al fondo de esto.
@Andyaka Bueno, ahí está. ¿Cometí un error ahí?

Respuestas (1)

Comencemos primero probando el primer reemplazo. Toma nota de que porque ⁡ ( − X ) = porque ⁡ ( X ) y eso pecado ⁡ ( − X ) = − pecado ⁡ ( X ) :

mi j ( ω t + θ ) + mi − j ( ω t + θ ) mi j ( ω t + θ ) + mi j ( − ω t − θ ) [ porque ⁡ ( ω t + θ ) + j ⋅ pecado ⁡ ( ω t + θ ) ] + [ porque ⁡ ( − ω t − θ ) + j ⋅ pecado ⁡ ( − ω t − θ ) ] [ porque ⁡ ( ω t + θ ) + j ⋅ pecado ⁡ ( ω t + θ ) ] + [ porque ⁡ ( ω t + θ ) − j ⋅ pecado ⁡ ( ω t + θ ) ] porque ⁡ ( ω t + θ ) + porque ⁡ ( ω t + θ ) = 2 porque ⁡ ( ω t + θ )

Obviamente, este equivalente es verdadero:

porque ⁡ ( ω t + θ ) = 1 2 [ mi j ( ω t + θ ) + mi − j ( ω t + θ ) ]

Entonces, esto significa que las dos primeras líneas del texto citado parecen correctas:

v ( t ) = V metro mi σ t porque ⁡ ( ω t + θ ) = 1 2 V metro mi σ t [ mi j ( ω t + θ ) + mi − j ( ω t + θ ) ]

Ahora iré en pequeños pasos a continuación, para que no haya dudas sobre el álgebra simple involucrada:

v ( t ) = 1 2 V metro mi σ t [ mi j ( ω t + θ ) + mi − j ( ω t + θ ) ] = 1 2 V metro mi σ t mi j ( ω t + θ ) + 1 2 V metro mi σ t mi − j ( ω t + θ ) = 1 2 V metro mi σ t + j ( ω t + θ ) + 1 2 V metro mi σ t − j ( ω t + θ ) = 1 2 V metro mi σ t + j ω t + j θ + 1 2 V metro mi σ t − j ω t − j θ = 1 2 V metro mi j θ mi σ t + j ω t + 1 2 V metro mi − j θ mi σ t − j ω t = 1 2 V metro mi j θ mi ( σ + j ω ) t + 1 2 V metro mi − j θ mi ( σ − j ω ) t

Esto parece demasiado fácil. Entonces, ¿entendí completamente mal tu pregunta?

Estaba a punto de pulsar enviar con una derivación similar. Básicamente, creo que el OP olvidó las reglas de exponencial
@jonk Entendiste completamente la pregunta. Yo también tenía la misma línea de lógica que tú. Así que supongo que es solo un error tipográfico y le enviaré un correo electrónico al editor sobre esto.
Entonces, la j adicional estaba mal y el documento vinculado estaba mal. +1 por esfuerzo prolongado.
Espera... ¿estás diciendo que las matemáticas parecen kosher? Estoy confundido, no puedes estar de acuerdo con el error e implicar que las matemáticas son kosher al mismo tiempo, je, je.
@Andyaka Eliminaré ese comentario por confuso. Lo lamento. La derivación es suficientemente clara y no hay necesidad de palabras que puedan confundirla.
¿Cómo obtenemos la frecuencia compleja de una función sinusoidal amortiguada exponencialmente?
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