¿Cómo funciona exactamente el GPS?

Creo que los receptores GPS no necesitan exclusivamente al menos 4 satélites, sino 3 como mínimo para la trilateración.

Se necesita una cuarta señal de satélite para sincronizar el reloj del receptor con los relojes de los satélites.

En cuanto a TOF/TOA vs. TDOA , creo que la diferencia radica en si el receptor GPS tiene un reloj interno sincronizado con los transmisores satelitales o no. En otras palabras, si conoce la hora en el satélite o no (en cuyo caso, mide las diferencias de rango).

Por lo tanto, los sistemas GPS del usuario final probablemente usen TDOA ya que no tendrían un reloj sincronizado (sería demasiado costoso).

Detalles sobre los cálculos de posicionamiento GPS:

El cálculo GPS en el receptor utiliza cuatro ecuaciones en las cuatro incógnitas x, y, z, t _c , donde x, y, z son las coordenadas del receptor y t _c es la corrección de tiempo para el reloj del receptor GPS.

la ecuacion es:

Dónde:

• n sería: GPS 1,2,3,4 (para cada una de las 4 ecuaciones respectivamente)
• c = velocidad de la luz (3x10 ⁸ m/s)
• t _t,1 , t _t,2 , t _t,3 , t _t,4 = veces que los satélites GPS 1, 2, 3 y 4, respectivamente, transmitieron sus señales (estos tiempos se proporcionan al receptor como parte del información que se transmite).
• t _r,1 , t _r,2 , t _r,3 , t _r,4 = veces que se reciben las señales de los satélites GPS 1, 2, 3 y 4, respectivamente (según el reloj del receptor GPS inexacto)
• x ₁ , y ₁ , z ₁ = coordenadas del satélite GPS 1 (estas coordenadas se proporcionan al receptor como parte de la información que se transmite); significado similar para x ₂ , y ₂ , z ₂ , etc.

TOA = Hora de llegada, TOF = Hora de vuelo, TDOA = Diferencia horaria de llegada

Fuentes:
https://www.courses.psu.edu/aersp/aersp055_r81/satellites/gps_details.html
http://www.adv-radio-sci.net/9/203/2011/ars-9-203-2011 .pdf
https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Polya/Kalman.pdf

Los satélites GPS también se pueden utilizar para determinar la actitud de otros satélites. No soy un experto en este campo, pero podría funcionar de la misma manera para el seguimiento de personas/automóviles en la Tierra.

De todos modos, así es como funciona para los satélites.

Los sensores GPS se pueden utilizar para determinar la actitud siempre que al menos 3 antenas estén disponibles. El cuarto es necesario para el tiempo.

Esclavo y maestro son 2 antenas montadas en el s/c. si la distancia$b$se sabe que podemos detectar la orientación s/c en el espacio. Tomando la proyección de$\underline{b}$en la dirección$\underline{S}$de la señal GPS entrante obtenemos la diferencia de trayectoria de la señal recibida por las 2 antenas como$\underline{S}^T \underline{b}$.

La posición del satélite GPS es conocida, por lo tanto$\underline{S}$se conoce en el marco de referencia geocéntrico si conocemos la posición de la antena maestra.

Medición de la diferencia de trayectoria

$\Delta r = \underline{S}^T \underline{b}$

y transformando el vector$\underline{S}$de geocéntrico a estructura corporal

$\underline{S} = AS$

$\Delta r = S^T A^T \underline{b}$

la incógnita es la matriz de rotación A.

Teniendo 3 medidas independientes:

$\Delta r_{11} = S_1^T A^T \underline{b}_1$línea de base 1 Satélite GPS 1

$\Delta r_{21} = S_2^T A^T \underline{b}_1$Línea de base 1 Satélite GPS 2

$\Delta r_{12} = S_1^T A^T \underline{b}_2$línea de base 2 Satélite GPS 1

$\Delta r_{22} = S_2^T A^T \underline{b}_2$línea de base 2 Satélite GPS 2

...

Se requieren 2 líneas base; de ​​lo contrario, si tiene una sola línea base, no puede determinar la rotación alrededor de esa línea base.

Para determinar la actitud, minimice la función de costo:

$J = \sum_{i = 1}^{N_S} \sum_{j = 1}^{N_b} (\Delta r_{ij} - S_i^T A^T b_j)$