¿Cómo evita el empuje constante la acumulación de energía cinética cuadrática?

Me disculpo de antemano, pero primero voy a hacer que el problema se vea peor para poder explicarlo:

Imagina que en lugar de medir la velocidad desde la estación donde se lanza el cohete, llamémosla estación A, mides desde la estación B, que se aleja de la estación A a una velocidad alta. E imagine que la estación A lanza dos cohetes idénticos, uno hacia usted y otro alejándose de usted.

Dado que estamos operando bajo la teoría actual bien probada de la relatividad especial, entendemos que podemos decir "B se está alejando de A" o con igual exactitud "A se está alejando de B", ya que podemos declarar cualquiera de los dos como "estacionario" para propósitos de medir velocidades con respecto a nuestro sistema de coordenadas elegido. Entonces, comencemos de nuevo y digamos que la Estación A se aleja a gran velocidad de la Estación B y lanza dos cohetes.

Por supuesto, antes de que se lancen desde A, ambos cohetes tendrán cierta energía cinética basada en su movimiento, y esa energía será igual para los dos cohetes idénticos. Sin embargo, cuando los lanzamos, eso comienza a cambiar: uno de ellos comienza a alejarse de nosotros aún más rápido, mientras que el otro comienza a alejarse de nosotros más lento. Después de algún tiempo, de hecho, uno se alejará de nosotros al doble de la velocidad que tenía originalmente, es decir, cuatro veces la energía cinética, mientras que al mismo tiempo el otro se alejará de nosotros a una velocidad relativa cero: sin cinética. energía que sea! Ahora estamos realmente confundidos, porque ambos cohetes hicieron exactamente lo mismo, pero uno terminó con una energía cinética muy alta y el otro sin energía alguna.

El problema que espero resaltar con ese ejemplo es que la energía cinética depende del marco y no es una energía intrínseca para un objeto. Es por eso que puede viajar con seguridad en un automóvil que se mueve a 100 km/h por una carretera, pero no ser atropellado por un automóvil que se mueve a 100 km/h por una carretera; si viaja con el automóvil, tiene cero energía cinética en su marco, pero si está parado en la carretera, tiene una energía cinética muy alta en su marco. La energía cinética es relativa.

En otra nota, dije antes que los dos cohetes están haciendo "lo mismo", pero en cualquier marco de referencia dado, eso no es del todo cierto. Obviamente, en mi ejemplo anterior, desde el marco de la estación B, un cohete está perdiendo energía cinética y el otro está ganando energía cinética, por ejemplo. Pero eso solo considerando los cohetes en sí mismos: están siendo propulsados ​​lanzando fotones en la otra dirección, y esos fotones son expulsados ​​​​con cierta energía. Si tuviera que medir la energía de los propios fotones (colocando un pequeño espejo en la parte posterior del cohete que se dirige hacia usted para que pueda ver el "escape")energético. Es decir, los fotones lanzados hacia ti son menos energéticos que los fotones lanzados desde ti... que fue la misma conclusión a la que llegamos con los cohetes lanzados desde la Estación A, y nuevamente es una consecuencia de la relatividad de la energía cinética. Pero esta vez podemos decir más directamente que uno está "desplazado hacia el rojo" y el otro "desplazado hacia el azul".

EDITAR: también puede ser más simple imaginar la solución si usa una unidad de reacción normal con un escape masivo. El escape es de baja masa pero sale a gran velocidad; el cohete tiene mayor masa y, por lo tanto, gana menos velocidad de la reacción. La energía cinética aumenta en la misma cantidad en direcciones opuestas para cada cuerpo de masa (tomando todo el escape como un "cuerpo"), de lo contrario, estamos obteniendo energía gratis de algún lado. Además, dado que el escape masivo tiene una velocidad de expulsión subliminal, puede tener un caso en el que el cohete se acelere alejándose de usted pero el escape también se esté alejando de usted, lo que no es posible con los impulsores de fotones. Pero en todos los casos, fotones o no, la energía total del sistemase conserva: medido a partir de un sistema de coordenadas inercial, el cohete "gana" la misma cantidad de energía que "pierde" el escape, y la tasa de cambio medida aumenta cuadráticamente.

TL;RD:

A medida que el cohete va más rápido, los fotones emitidos transportan menos energía en el marco de reposo. Esto significa que hay más energía disponible para el cohete. Se muestra que la conservación de la energía y el impulso dan exactamente el resultado esperado, incluso en el límite clásico de baja velocidad.

Para averiguar qué está pasando, debemos considerar lo que sucede tanto con el impulso como con la energía del cohete y los fotones.

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que los fotones emitidos son azules en el marco de referencia del cohete, lo que facilita la descripción.

Cuando el cohete se mueve lentamente, los fotones aún se ven azules en el marco de referencia de un observador estacionario: parecen transportar toda la energía. A medida que el cohete acelera, los fotones sufrirán un desplazamiento Doppler y se volverán "más rojos": se llevan menos energía después de la interacción con el cohete. Entonces, para la misma cantidad de fotones por unidad de tiempo, el cohete siente el mismo empuje, pero (en el marco estacionario) da como resultado un mayor aumento de energía ya que los fotones tienen menos energía.

Matemáticamente, si emitimos$N$fotones de longitud de onda$\lambda_0$en un corto intervalo de tiempo, entonces para un cohete de masa$m$con velocidad$v$el cambio total en el momento es

El aumento de energía del cohete es

La energía de los fotones (con desplazamiento Doppler) es (en la aproximación no relativista)

Y la energía es

Como puede ver, la suma de esta energía más la energía ganada por el cohete es constante: a medida que el cohete va más rápido, los fotones se llevan$N\frac{hv}{\lambda_0}$menos energía - y esa es precisamente la energía ganada por el cohete.

Si el cohete alcanza velocidades relativistas, el cálculo es más complejo pero la conclusión es la misma. Un cálculo adecuado tampoco ignoraría la pérdida de masa del cohete debido a la energía emitida, pero nuevamente eso no resta valor al principio fundamental en juego.

Su análisis ignora la Relatividad Especial; esto está bien hasta que la velocidad alcance una fracción considerable de la velocidad de la luz. La medida relevante es el factor de Lorentz, que difícilmente se puede medir a velocidades ordinarias, pero es$\gamma =1.001$en$v=0.05 c$; aumenta a$\gamma =1.033$en$v=0.25 c$, y se vuelve significativo con$\gamma =1.250$por$v=0.6 c$.

Esto significa que se debe proporcionar una cantidad cada vez mayor de potencia para aumentar la energía, y esta potencia debe ser proporcionada por el láser. Por lo tanto, el modelo lineal que ha propuesto no puede extenderse más allá de un cierto nivel debido a la relatividad.

Para obtener más información sobre el factor Lorentz, consulte https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_factor

El mismo "motor" láser parece volverse cada vez más "eficiente" (produciendo más energía cinética acumulada con el paso del tiempo).

Esto no es específico de la propulsión basada en láser; El aumento de la tasa de cambio de la energía cinética también es cierto para los cohetes propulsados ​​químicamente.

La razón por la que parece extraño, o incluso "paradoja", es que uno olvida que parte de la energía liberada es tomada por los gases de escape. De hecho, justo después de que el cohete comenzó a moverse, la mayor parte de la energía liberada en la unidad de tiempo se la lleva el gas de escape, la energía del cohete cambia en una cantidad que es solo una pequeña parte de la energía total liberada. Entonces, si bien la pérdida de masa tiene un impacto insignificante en la masa del cohete, al principio se lleva casi toda la energía.

Más tarde, a medida que el cohete adquiere una velocidad cada vez mayor, la velocidad de los gases de escape en el marco de la Tierra se vuelve cada vez más baja, por lo que los gases de escape consumen cada vez menos energía por unidad de tiempo. Esto implica que el equilibrio cambia a favor del cohete, que obtiene una parte cada vez mayor de la energía liberada por unidad de tiempo.

Cuando se suman ambos aumentos de energía por unidad de tiempo, el del cohete y el de los gases de escape, esta suma es igual a la energía liberada del combustible por unidad de tiempo.

Suponiendo que el motor del cohete funciona de la misma manera al principio y 10 minutos después, la energía liberada por segundo es constante; denotemoslo por$P$. La conservación de la energía implica

donde el primer término da el cambio de energía cinética del cohete de velocidad$v$mientras tanto$\Delta t$y el segundo termino$\Delta E_w$es el cambio de energía de los gases de escape expulsados ​​en el tiempo$\Delta t$.

Dado que la fuerza de empuje y la masa del cohete también se suponen constantes (válido en la etapa inicial del vuelo cuando solo se ha quemado un pequeño porcentaje de combustible), la velocidad del cohete es una función lineal del tiempo y su energía cinética es una función cuadrática del tiempo, como escribiste, entonces el cambio de energía cinética aumenta en el tiempo$\Delta t$aumenta

Dado que el lado izquierdo de la ecuación anterior es constante en el tiempo y el término de energía cinética aumenta en el tiempo, llega un punto en el que$\Delta E_w$se vuelve negativo. ¿Qué significa eso? Significa que el combustible que se convierte en gas de escape disminuye su energía cinética. Esto es posible porque el combustible se mueve a alta velocidad en ese punto y se quema y se agota en la dirección opuesta a la velocidad del cohete, lo que lo hace más lento. Esto sucede aproximadamente cuando la velocidad del cohete supera la mitad de la velocidad de los gases de escape con respecto a la tobera.

No creo que la propulsión láser funcione en la medida en que cree aumentos lineales en la velocidad con el tiempo durante un período sostenido de tiempo. Creo que es imposible: la conservación de energía no lo permitirá. Creo que la tasa de aumento de la velocidad disminuirá progresivamente.

No es que un láser de empuje constante no pueda hacer que esto suceda, es solo que requeriría un aumento cuadrático del consumo de energía para hacerlo. Esto es análogo a la aceleración de un automóvil y cómo el consumo de combustible se alinea principalmente con la energía cinética, a medida que la fuerza se aplica a distancias cada vez mayores. La velocidad es el resultado.

La energía cinética es intrínsecamente incompatible con la mecánica clásica en el sentido de que existe mano a mano con el tiempo relativo, y sin tiempo relativo, la energía cinética no existe. Es una falla de la física del siglo XIX que siguió adelante y construyó un modelo en el que la energía cinética existía junto con el tiempo absoluto en lugar de considerar completamente que el tiempo puede ser relativo.

Pero no necesitamos repetir los fracasos de tiempos anteriores hoy. Cualquier discusión sobre la energía cinética, la energía cinética clásica, que no mencione el tiempo relativo es, en el mejor de los casos, incompleta.

El tiempo se dilata principalmente en el cuadrado a bajas velocidades. El tiempo pasa literalmente más lento para un objeto que viaja a velocidades clásicas en una cantidad que avanza cuadráticamente con los aumentos de velocidad.

Esa cuadrática es esta cuadrática.

Consulte https://www.quora.com/Since-time-is-relative-how-much-time-has-passed-for-Voyager-1-in-comparison-to-Earth para ver un gran ejemplo de esto. Las simetrías de la relatividad especial son tales que este efecto de dilatación muy real a menudo se puede perder en las minucias de los detalles de las matemáticas específicas del marco de referencia. Pero lo que más me interesa es lo que conecta varios marcos de referencia, y el modelo en mi cabeza es que es la tasa relativa del paso del tiempo lo que hace la conexión.

Creo que el tiempo es real y que es real de una manera que significa que realmente pasa. Y el movimiento de la radiación electromagnética es en sí mismo la esencia misma del paso del tiempo. Este es un punto de vista poco ortodoxo, probablemente digno de elevarme al estado de chiflado, pero estoy convencido de ello, y es muy obvio para mí que la cuadrática de la energía cinética es, de hecho, las cantidades muy pequeñas de dilatación del tiempo que ocurren a este paso. de tiempo.

Tiene que ser así ya que el infinitesimal de la aceleración es invariante a la velocidad de la luz. Solo mediante un cambio de la velocidad relativa a la que pasa el tiempo pueden tener sentido las perspectivas invariantes de la velocidad de la luz de un objeto que se acelera, tanto antes como después de la aceleración.

El desplazamiento al rojo Doppler no explica la cuadrática de la energía cinética. Ese efecto es lineal con respecto a la velocidad, y se desvanece cuando la velocidad relativa de un objeto vuelve a cero, sin tener en cuenta la transferencia de energía cuadrática. Este efecto es un socio natural del segundo término en la transformación del tiempo de Lorentz.

Por el contrario, los aumentos cuadráticos de energía que corresponden a esos mismos aumentos de velocidad lineal asociados con Doppler son, de hecho, "reales" en una forma en que la energía debe transferirse, o tenerse en cuenta, cuando la velocidad relativa alcanzada se vuelve a negar. La cuadrática está "cuadradamente" enraizada en la transformación de Lorentz para el primer término del tiempo: gamma.

Vea específicamente este comentario a otra respuesta del autor de la pregunta de esta misma pregunta para obtener contexto sobre lo que realmente estamos persiguiendo aquí:

Para enfocar la pregunta un poco más: suponga que el cohete comienza a cierta distancia de la Estación A, en reposo entre sí. Después de T segundos de aceleración constante, el cohete impacta en la estación A y se libera su energía cinética, por lo que no es solo teórico. La cantidad de KE en el punto de impacto parece aumentar cuadráticamente con el tiempo de aceleración, aunque es producido por un motor de fotones de potencia constante cuya entrada/salida de energía aumenta linealmente con el tiempo de aceleración. Todo esto a velocidades minúsculas con efectos relativistas insignificantes. – Zeph

La cuadrática no se explica por Doppler, se explica por dilatación del tiempo. Dilatación del tiempo que se ha demostrado empíricamente que existe de manera real, según mi leal saber y entender.

Esto funcionará solo si se consumen cantidades cuadráticamente crecientes de combustible para aplicar fuerza sobre las distancias cada vez mayores en las que se produce la aceleración, correspondientes a un número cada vez mayor de puntos en el espacio sobre los cuales se acumulan cantidades infinitesimales de dilatación del tiempo.