¿Cómo es posible que las órbitas mantengan la estabilidad?

Si la velocidad de un satélite difiere de la velocidad correcta de una órbita circular, las ecuaciones de Newton implican que el objeto simplemente se moverá a lo largo de una órbita no circular, una elipse. Este hecho, así como los parámetros detallados de esta elipse, ya los conocía Johannes Kepler.

Todos los planetas y lunas en el mundo real orbitan alrededor de sus estrellas o planetas a lo largo de elipses y aquí no hay ningún ajuste fino. La desviación de una órbita circular se conoce como "excentricidad" de la elipse y es distinta de cero para todos los objetos celestes reales: ninguno de ellos tiene una velocidad ajustada. Para cualquier posición inicial o velocidad, uno encuentra una elipse (que puede ser un círculo si alguien, por ejemplo, la NASA, ajusta los parámetros) o una hipérbola o una parábola (si la velocidad excede la velocidad de escape o es igual a ella) y el objeto se moverá a lo largo de él, de acuerdo con las leyes de movimiento de Newton.

Todas las trayectorias elípticas del sistema de 2 cuerpos son estables (y las elípticas son periódicas): una pequeña perturbación del estado inicial solo conduce a perturbaciones igualmente pequeñas del estado final. Esta proposición debe modificarse para 3 cuerpos y números mayores (comportamiento caótico) y para órbitas cercanas alrededor de objetos muy pesados ​​en relatividad general que pueden ser inestables. Pero en la teoría de Newton para 2 cuerpos, todo es fácil.

Tratemos el caso de una sola partícula girando alrededor de un potencial 1/r (es decir, la Luna alrededor de la Tierra). En el marco rotatorio de la órbita de la Luna, existe un potencial efectivo dado por:

Por lo tanto, cualquier pequeño desplazamiento es estable y simplemente da como resultado una oscilación del radio orbital.

Esas son las condiciones para las órbitas circulares .

Las órbitas no tienen problemas para existir en variedades no circulares (elípticas). En este caso, la velocidad y el radio varían de tal manera que se mantiene constante el momento angular.

Puede encontrar el momento angular en un punto particular en el tiempo como$L = m * v_t$dónde$v_t$es la velocidad transversal a la línea que une los dos cuerpos. A partir de las consideraciones que indicó para las órbitas circulares, debería poder deducir cuándo la órbita se dirige hacia afuera y hacia adentro.

La situación real probablemente se puede aproximar mucho a un punto que orbita alrededor de otro punto en la física newtoniana. Supongamos que un punto orbita alrededor de otro punto en un círculo perfecto en la física newtoniana, pero no tiene un campo gravitatorio propio, por lo que el otro punto no se mueve en absoluto. Tomemos el marco de referencia giratorio donde ambos puntos están estacionarios. En ese marco de referencia, hay dos fuerzas ficticias, la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis. La fuerza centrífuga tira radialmente hacia afuera y varía como$mr\omega^2$dónde$m$es la masa,$r$es la distancia desde el punto estacionario, y$\omega$es la frecuencia angular. La fuerza de Coriolis tira perpendicular a la velocidad. Atrae 90° en el sentido de las agujas del reloj de la velocidad en un marco de referencia que gira en sentido contrario a las agujas del reloj y 90° en sentido antihorario de la velocidad en un marco de referencia que gira en el sentido de las agujas del reloj. La magnitud de la fuerza de Coriolis es$2mv$dónde$v$es la velocidad en el marco giratorio de referencia. En el marco de referencia donde ambos puntos están estacionarios, también hay una fuerza gravitatoria real que varía como la menos la segunda potencia de la distancia. Las matemáticas muestran que la fuerza de Coriolis es suficiente para estabilizar una ligera perturbación en la órbita.