¿Cómo es posible definir el trabajo por fricción en varias dimensiones?

Maravillosa pregunta. Tienes toda la razón, no podemos definir un campo de fuerza para la fricción como lo hacemos para la gravedad. Pero la fórmula para el trabajo

$$W=\int_\gamma \vec{F}\cdot\vec{dr}$$

aún mantiene. Sólo tenemos que ser un poco más cuidadosos con la forma en que escribimos$\vec{F}$. Naturalmente (como para la gravedad), queremos escribir$\vec{F}$únicamente en función de la posición. Eso es,

$$\vec{F}=F_x(x,y,z)\,\hat{i}+F_y(x,y,z)\,\hat{j}+F_z(x,y,z)\,\hat{k}.$$

Por ejemplo, la gravedad tiene un campo de fuerza constante,$\vec{F} = -g\,\hat{k}$. Luego, para resolver un problema, parametrizaríamos una curva$\gamma = (x(t),y(t),z(t))$, reemplace todas las x, y y z en la ecuación para$\vec{F}$con estas nuevas expresiones (en términos de$t$) y luego hacer la integral de línea.

Pero no tuvimos que escribir$\vec{F}$únicamente en términos de$x$,$y$, y$z$. De hecho, el formulario que escribí anteriormente puede no ser particularmente útil, ¡ni siquiera lo usamos directamente! Solo lo usamos como una herramienta para obtener$\vec{F}$en cada punto a lo largo de la curva, y por extensión para obtener$\vec{F}$en cada momento$t$. Pero si ya sabemos cualquiera de estas cosas, entonces no tenemos que pasar por esa gimnasia.

Por ejemplo, ¿cómo va la historia de la fricción cinética? Bueno, siempre se opone al movimiento, o está en la dirección opuesta a la velocidad. Además, tiene un tamaño constante que depende de la masa del objeto ($F_{f} = \mu_k N$). Entonces, sabemos$\vec{F}$!

$$\vec{F} = - F_f \,\vec{\gamma'(t)}$$

Aquí escribí el signo vectorial para enfatizar. Desde aquí, espero que puedas ver que, dada una curva, podemos encontrar el trabajo debido a la fricción. Avísame si todavía tienes problemas con los detalles.

Me han enseñado que, dado un campo de fuerza F , el trabajo realizado por la fuerza sobre cierta curva$\gamma$se define como la integral de línea de dicho campo a lo largo de$\gamma$.

La fricción es una fuerza, pero no se deriva de un campo de fuerza (en ningún sentido útil). Entonces, su declaración, si bien es cierta, es inaplicable. (¡ No nos "daron un campo de fuerza" en este caso!) Así que recurrimos a la definición más general de que el trabajo es gasto neto de energía, que a su vez es igual a la integral de tiempo de la potencia aplicada al sistema:

$$W = \int \mathbf{F}(t) \cdot \mathbf{v}(t) \, dt$$ donde v es la velocidad y t es el tiempo.

Me han enseñado que, dado un campo de fuerza F , el trabajo realizado por la fuerza sobre cierta curva$\gamma$se define como la integral de línea de dicho campo a lo largo de$\gamma$.

Todo muy bien, pero tal vez esa afirmación no sea la única forma de evaluar el trabajo realizado dado que puede no ser práctico para evaluar lo que es el campo de fuerza.

El campo de fuerza de los dos ejemplos que has dado, la gravedad y un resorte, son fáciles de evaluar porque son estáticos.
Para su ejemplo de gravedad, ese campo de fuerza podría tener que ser dinámico en el sentido de que la atracción gravitacional en un punto podría depender de cualquier número de masas en movimiento.
En tal caso, podría decir que hay un campo de fuerza en un instante de tiempo y luego ese campo de fuerza cambia en el siguiente instante de tiempo.
Entonces, ¿realmente necesita evaluar todo el campo de fuerza en cada instante de tiempo para evaluar el trabajo realizado?
¿No es más fácil imaginar que en un instante de tiempo hay un campo de fuerza pero solo averiguar cuál es la fuerza en la posición de la partícula?

La fricción es un poco diferente en que la dirección de la fuerza de fricción depende de la velocidad de la partícula que experimenta esta fuerza de fricción.
De alguna manera, esto puede hacer la vida un poco más fácil, ya que todo lo que se necesita saber es la magnitud de la fuerza de fricción, ya que su dirección será opuesta a la de la velocidad de la partícula.
En tal caso, donde la dirección de la fuerza de fricción solo está determinada por la velocidad de la partícula, podría establecer un campo de fuerza escalar que proporcione la magnitud de la fuerza de fricción en función de la posición, la velocidad de la partícula y el tiempo.

Nuevamente, aunque podría imaginar que hay un campo de fuerza escalar, solo le preocupa lo que sucede en una determinada posición.

Así que lanza una pelota verticalmente hacia arriba en el aire y déjala caer de nuevo.
El campo de fuerza debido a la gravedad no es un problema ya que es estático.
El campo de fuerza debido a la fricción es muy dinámico, pero su única preocupación en un instante dado sería la magnitud de la fuerza de fricción que dependería de la velocidad de la pelota.
Al descender, la velocidad de la pelota a una altura particular bien podría ser diferente, por lo que el campo de fuerza en ese instante será diferente del que tenía cuando la pelota se movía hacia arriba, pero todo lo que necesita hacer es calcular la magnitud de la fuerza de fricción en ese momento. punto.

Para fricción con algún medio:

A partir de la función de disipación de Rayleigh, puede tomar la fricción como función de la velocidad y definirla como un gradiente (especial) de algún campo escalar.

$$\vec{f}=\vec{f}(\vec{v})=\vec\nabla_v \:(\mathcal{F})$$ dónde $\vec\nabla_v$se define como sigue $$\vec\nabla_v =\dfrac{\partial}{\partial v_x}\hat x + \dfrac{\partial}{\partial v_y}\hat y +\dfrac{\partial}{\partial v_z}\hat z$$ En este caso, debe conocer la velocidad del objeto en lugar de la posición para conocer la fuerza en un momento.

Para fricción "normal":

De hecho, puede definir la fricción debido al movimiento sobre una superficie (sobre el plano xy, por ejemplo)

$$\vec f = \begin{cases} f_x\hat x +f_y \hat y& \text{over the surface} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$