¿Cómo es la ecuación de Schroedinger una ecuación de onda?

En realidad, una ecuación de onda es cualquier ecuación que admite soluciones ondulatorias, que toman la forma$f(\vec{x} \pm \vec{v}t)$. La ecuacion$\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = c^2\nabla^2 f$, a pesar de ser llamada " la ecuación de onda", no es la única ecuación que hace esto.

Si conecta la solución de onda en la ecuación de Schroedinger para potencial constante, usando$\xi = x - vt$

Esto claramente depende sólo de$\xi$, no$x$o$t$individualmente, lo que demuestra que se pueden encontrar soluciones ondulatorias. Terminan pareciendo$e^{ik\xi}$.

Ambos son tipos de ecuaciones de onda porque las soluciones se comportan como se espera para las "ondas". Sin embargo, matemáticamente hablando, son ecuaciones diferenciales parciales (EDP) que no son del mismo tipo (por lo que espera que la clase de soluciones, dadas algunas condiciones de contorno, presente un comportamiento diferente). Las restricciones sobre los valores propios del operador lineal también son particulares de cada uno de los tipos de PDE. En general, una ecuación diferencial parcial de segundo orden en dos variables se puede escribir como

La ecuación de onda en una dimensión que cita es una forma simple para una PDE hiperbólica que satisface$B^2 - 4AC > 0$.

La ecuación de Schrödinger es una PDE parabólica en la que tenemos$B^2 - 4AC = 0$ya que$B=C=0$. Se puede asignar a la ecuación del calor.

En sentido técnico, la ecuación de Schrödinger no es una ecuación de onda (no es una PDE hiperbólica). Sin embargo, en un sentido más heurístico, uno puede considerarlo como tal porque exhibe algunas de las características de las típicas ecuaciones de onda. En particular, la propiedad más importante compartida con las ecuaciones de ondas es el principio de Huygens . Por ejemplo, este principio está detrás del experimento de la doble rendija.

Si desea leer sobre este principio y la ecuación de Schrödinger, consulte Principio de Huygens, la partícula libre de Schrödinger y la fuerza cuántica anticentrífuga y el Principio de Huygens como modelo universal de propagación . Consulte también esta publicación de Math.OF para obtener más detalles sobre HP y las PDE hiperbólicas.

Como señala Joe en su respuesta a un duplicado, la ecuación de Schrödinger para una partícula libre es una variante de la aproximación de envolvente de variación lenta de la ecuación de onda, pero creo que su respuesta pierde algunas sutilezas.

Tome una solución general$f(x)$a la ecuación de onda$\partial^2 f = 0$(usamos la notación covariante de Lorentz y la convención de signos -+++). imagina descomponer$f$en una sola onda plana modulada por una función de envolvente$\psi(x)$:$f(x) = \psi(x)\, e^{i k \cdot x}$, donde el cuatro vector$k$es nulo. La ecuación de onda entonces se convierte en

Si existe un marco de Lorentz en el que$|{\bf k} \cdot {\bf \nabla} \psi| \ll |{\bf \nabla} \cdot {\bf \nabla} \psi|$y$|\partial_t \dot{\psi}| \ll \omega |\dot{\psi}|$, entonces en ese marco los dos términos del medio pueden ser despreciados, y nos quedamos con

$|\partial_t \dot{\psi}| \ll \omega |\dot{\psi}|$significa que la derivada temporal de la función envolvente$\dot{\psi}$está cambiando mucho más lentamente que la onda plana está oscilando (es decir, muchas oscilaciones de ondas planas ocurren en el tiempo$|\dot{\psi} / \partial_t \dot{\psi}|$que se necesita para$\dot{\psi}$cambiar significativamente), de ahí el nombre de "aproximación de envolvente de variación lenta". La interpretación física de$|{\bf k} \cdot {\bf \nabla} \psi| \ll |{\bf \nabla} \cdot {\bf \nabla} \psi|$es mucho menos claro y no tengo una gran intuición para ello, pero parece implicar básicamente que si tomamos la dirección de propagación de la onda como$\hat{{\bf z}}$, después$\partial_z \psi$cambia muy rápidamente en el espacio a lo largo de la dirección de propagación de la onda (es decir, solo necesita viajar una pequeña fracción de una longitud de onda$\lambda$antes de$\partial_z \psi$cambia significativamente). Este es un límite bastante extraño, porque claramente no tiene sentido pensar en$\psi$como una "envolvente" si cambia en una escala de longitud mucho más corta que la longitud de onda de la onda que se supone que envuelve. Francamente, ni siquiera estoy seguro de si este límite es compatible con el otro límite.$|\partial_t \dot{\psi}| \ll \omega |\dot{\psi}|$. Agradecería las ideas de cualquiera sobre cómo interpretar este límite.

Como se destacó en otras respuestas y comentarios, el punto común entre estas ecuaciones es que sus soluciones son "ondas". Es la razón por la que la física que describen (por ejemplo, los patrones de interferencia) es similar.

Tentativamente, definiría una ecuación "en forma de onda" como

1. una PDE lineal

2. ^{cuyo espacio de soluciones *} espacialmente acotadas admite una (pseudo-)base de la forma

   $$e^{i \vec{k}.\vec{x} - i \omega_{\alpha}(\vec{k})t}, \vec{k} \in \mathbb{R}^n, \alpha \in \left\{1,\dots,r\right\}$$ con$\omega_1(\vec{k}),\dots,\omega_r(\vec{k})$ valor real (también conocido como relación de dispersión ).

Por ejemplo, en dimensión 1+1, estas van a ser las EDP de la forma

Tenga en cuenta que con tal definición, la ecuación de Schrödinger libre se calificaría como ondulatoria, pero no como la que tiene un potencial (y creo que con razón, ya que la física de, digamos, el oscilador armónico cuántico es bastante diferente, con estados ligados, etc.). Tampoco la ecuación del calor $\partial_t \psi -c \partial_x^2 \psi = 0$: la '$i$' en la ecuación de Schrödinger importa!

_{* Tales ecuaciones también admitirán a menudo soluciones de ondas evanescentes correspondientes a imaginarios$\vec{k}$.}

Esta respuesta desarrolla mi comentario a la respuesta de David Z. Creo que su definición de una ecuación de onda es excesivamente amplia, porque incluye cada EDP invariante traslacionalmente y cada valor de$v$. Para simplificar, especialicémonos en PDE lineales en una dimensión espacial. Un orden general-$N$tal ecuación toma la forma

Para simplificar la notación, dejaremos$\{ \mu \}$denotar$\mu_1, \dots, \mu_n$, de modo que

Hagamos el ansatz que$f$solo depende de$\xi := x - v t$. Después$\partial_x f(\xi) = f'(\xi)$y$\partial_t f(\xi) = -v\, f'(\xi)$. si definimos$a_{\{\mu\}} \in \mathbb{N}$simplemente contar el número de índices$\mu_i \in \{\mu\}$que igual$t$, entonces la PDE se convierte en

Definición$c'_n := \sum \limits_{\{\mu\}} c_{\{\mu\}} (-v)^{a_{\{\mu\}}}$, obtenemos la ecuación diferencial ordinaria con coeficientes constantes

Ahora como siempre, podemos hacer el ansatz$f(\xi) = e^{i z \xi}$y encuentre que la ecuación diferencial se satisface siempre que$z$es una raíz del polinomio característico$\sum \limits_{n=0} c_n' (iz)^n$. ¡Entonces nuestra PDE lineal invariante traslacionalmente completamente arbitraria tendrá "soluciones similares a ondas" viajando a todas las velocidades posibles!

Si bien no es de naturaleza muy técnica, vale la pena volver a la primera definición de lo que es una onda (es decir, la que usa antes de aprender que "una onda es una solución a una ecuación de onda"). La redacción que uso en las clases introductorias es

una perturbación en movimiento

donde se permite que la 'perturbación' esté en cualquier cantidad medible, y simple significa que se ve que la cantidad varía de su valor de equilibrio y luego regresa a ese valor.

Lo sorprendente no es lo general que es esa expresión, sino que es necesario usar algo así de general para cubrir todos los casos básicos: ondas en cuerdas, ondas superficiales en líquidos: sonido y luz.

Y según esa definición, la ecuación de Schrödinger se usa para describir la variación en movimiento de varios observables, por lo que podría decirse que califica.

Hay espacio para objeciones: la función de onda en sí misma no es observable, e incluso las distribuciones de valores que se pueden observar a menudo son de naturaleza estadística, pero siempre me he sentido cómodo con este enfoque.