¿Cómo "derivar" la ecuación de onda sin hacer referencia a las cuerdas?

Creo que la ecuación de onda puede derivarse solo de la geometría, sin usar la física. Considerar$f(x-ct)$y considerar pequeños cambios en$x$y$t$, es decir.$\Delta x$,$\Delta t$(Cada uno causa un pequeño cambio o traducción de$f(x-ct)$). Tenga en cuenta que$\Delta x$=$c\Delta t$. Asi que$\frac{\Delta f}{\Delta x}$=$\frac{\Delta f}{c\Delta t}$=$\frac{1}{c}\frac{\Delta f}{\Delta t}$. Haciendo eso de nuevo obtenemos

$$\frac{\Delta^2 f}{\Delta^2 x} = \left(\frac{1}{c}\right)^2\frac{\Delta^2 f}{\Delta^2 t}$$ . Entonces dejando $\Delta$se vuelven muy pequeños nos ponemos

$$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2f}{\partial t^2}=0$$

Solo por la geometría, solo era necesario notar que un cambio en$t$multiplicado por la velocidad produce los mismos resultados (medidos por la segunda derivada) que un cambio en$x$--es decir, una traducción de$f(x-ct)$. Ver, por ejemplo, para una buena discusión: kiskis.physics.ucdavis.edu/landau/phy9hc_03/wave.pdf ‎.

El hecho de que la ecuación de onda sea ubicua en la física no significa que su derivación sea la misma para cada situación física. Te mostraré cómo derivar la ecuación de onda de la electrodinámica ya que es bastante elegante y te indicaré algunos lugares para ver la derivación en otras situaciones físicas. Para ondas electromagnéticas en el vacío, comience con las ecuaciones de Maxwell

$$\begin{align} \nabla\cdot\vec{E}&=0\qquad\qquad\nabla\times\vec{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\\ \nabla\cdot\vec{B}&=0\qquad\qquad\nabla\times\vec{B}=\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}. \end{align}$$ Tome el rotacional de la ecuación de Faraday (arriba a la derecha) y aplique algunas identidades vectoriales $$\begin{align} \nabla\times(\nabla\times \vec{E})&=-\frac{1}{c}\nabla\times\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\\ \nabla(\nabla\cdot\vec{E})-\nabla^2\vec{E}&=-\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\vec{B})\\ \nabla^2\vec{E}&=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}. \end{align}$$ Puede obtener un resultado similar para el campo magnético tomando el rotacional de la ley de Ampere. La derivación con una fuente es un poco más complicada. Por lo general, se deriva en términos del vector, $\vec{A}$, y escalar, $\Phi$potenciales definidos por $$\vec{B}=\nabla\times\vec{A}\qquad\qquad\vec{E}=-\nabla\Phi-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}.$$ Las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir en términos de estos potenciales como $$\begin{align} \nabla^2\Phi+\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\vec{A}&=-\frac{\rho}{\epsilon}\\ \nabla^2\vec{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{A}}{\partial t^2} -\nabla\left(\nabla\cdot\vec{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\Phi}{\partial t}\right)&= -\mu_0\vec{J}, \end{align}$$ dónde $\rho$es la densidad de carga y $\vec{J}$es la densidad de corriente, es decir, las fuentes. Hay cierta libertad en la definición de estos potenciales conocida como libertad de calibre. La libertad de calibre es sagrada para la física teórica, pero no entraré en detalles aquí. Una elección de la libertad es exigir que los potenciales satisfagan lo que se conoce como la condición de Lorenz $$\nabla\cdot\vec{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\Phi}{\partial t}=0.$$ Reemplazar esto en las ecuaciones anteriores muestra que ambos potenciales satisfacen las ecuaciones de onda generadas $$\begin{align} \nabla^2\Phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Phi}{\partial t^2}&=-\frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla^2\vec{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{A}}{\partial t^2}&= -\mu_0\vec{J}. \end{align}$$ Para obtener más detalles sobre la ecuación de ondas electromagnéticas, consulte el capítulo 6 del texto clásico de John David Jackson "Electrodinámica clásica".

Para una derivación de la ecuación de onda en una membrana estirada, como un parche de tambor, eche un vistazo a estas notas . Para una derivación de la ecuación de ondas acústicas, echa un vistazo al artículo de Wikipedia.

Creo que puedes hacer una heurística aproximada como esta. Lo que llamamos movimiento ondulatorio involucra cierta amplitud , y la onda se propaga cuando la amplitud varía en el espacio. El operador laplaciano tiene la propiedad del valor medio de que cuando$\nabla^2 f = 0$en una región$U$y$x \in U$,

$$f(x) = \frac{1}{V}\int_B f(t)\, dV$$ dónde $B$es una bola centrada alrededor $x$y contenida en $U$, y $V$es el volumen de $B$. Así podemos decir que el laplaciano mide cuán diferentes $f(x)$es del valor medio de $f$cerca $x$. Podemos tomar esto como una razón para creer que la parte espacial de la ecuación de onda debe ser $\nabla^2 f$.

¿Cuál debe ser la parte del tiempo? Creo que está bastante claro que necesitamos dos derivadas temporales. Por ejemplo, considere el ejemplo concreto de una onda mecánica donde el movimiento es finalmente descrito por las leyes de Newton, que tienen dos derivadas temporales. También esperaría que la evolución temporal de la onda dependiera no solo de su forma en$t =0$, sino también en la derivada temporal en$t = 0$. Por lo tanto, nosotros, la onda, suponemos que las ondas se describen mediante

$$\frac{\partial^2}{\partial t^2}f - \frac{1}{c^2} \nabla^2 f = 0$$ donde la cantidad $c$tiene dimensiones de velocidad, para que la ecuación sea dimensionalmente correcta.