¿Cómo crea el principio de exclusión de Pauli una fuerza en la materia degenerada?

¿Cómo crea realmente una fuerza el principio de exclusión de Pauli?

El principio de exclusión de Pauli realmente no dice que dos fermiones no puedan estar en el mismo lugar. Es a la vez más fuerte y más débil que eso. Dice que no pueden estar en el mismo estado, es decir, si son ondas estacionarias, dos de ellas no pueden tener el mismo patrón de onda estacionaria. Pero para la materia a granel, para nuestros propósitos, se convierte en una aproximación decente tratar el principio de exclusión como si dijera que si$n$las partículas están confinadas a un volumen$V$, cada uno debe estar confinado a un espacio de aproximadamente$V/n$. Dado que el volumen es como la longitud al cubo, esto significa que sus longitudes de onda deben ser$\lesssim (V/n)^{1/3}$. Como$V$se encoge, esta longitud de onda máxima también se encoge, y la relación de De Broglie nos dice que el momento aumenta. El aumento del impulso se muestra como una presión, tal como lo haría si aumentara los impulsos de todas las moléculas en una muestra de aire. Un cuerpo degenerado como una estrella de neutrones o una enana blanca se encuentra en un estado en el que esta presión está en equilibrio con la gravedad.

Me gusta la respuesta de Ben, pero aquí está mi opinión sobre esto.

La presión de degeneración no se debe a una fuerza fundamental; de hecho, en el modelo más simple, ocurre en gases ideales de fermiones que no interactúan .

La mecánica cuántica simple de partículas en un pozo de potencial infinito (es decir, atrapadas en un volumen) nos dice que solo son posibles ciertas funciones de onda cuantizadas. Cada una de estas funciones de onda tiene un impulso asociado. Por lo tanto, hay un número finito de estados cuánticos por unidad de volumen, por unidad de momento (a veces llamado "espacio de fase"). El principio de exclusión de Pauli (PEP) nos dice que solo dos fermiones (uno para girar hacia arriba, uno para girar hacia abajo) podrían ocupar cada uno de estos "estados propios de impulso".

En un gas "normal" (no cuántico), ¿qué sucede cuando lo exprimimos en un volumen pequeño? Bueno, la teoría cinética nos dice que la presión aumenta porque aumenta la densidad numérica de las partículas y aumenta la temperatura, lo que se manifiesta como un aumento en las velocidades y los momentos de las partículas. Estas partículas más rápidas intercambian grandes cantidades de impulso con las paredes de nuestro contenedor, por lo que ejercen una mayor presión. Pero , en nuestro gas "normal", podríamos ponerlo en un refrigerador y reducir la presión. Esto se debe a que las partículas en un gas normal pueden tener su energía cinética extraída de ellas y pueden caer para ocupar estados de menor energía/momento sin restricción.

Ahora pasemos a un gas de fermiones. La presión se ejerce en un gas fermión exactamente de la misma manera. La imagen de la teoría cinética se mantiene. Pero ahora, si enfriamos el gas, inicialmente el comportamiento podría ser bastante similar, pero a medida que se llenan todos los estados cuánticos de baja energía/momento, encontramos que el PEP nos impide extraer más calor de las partículas. Se asientan en estados cuánticos que pueden tener una cantidad apreciable de impulso y energía cinética, porque eso es lo más bajo que pueden llegar. Entonces, incluso si enfriáramos nuestro gas fermión hasta casi el cero absoluto, todavía encontraríamos fermiones con un impulso distinto de cero y el gas ejercería una presión (de degeneración).

Una forma sencilla de ver esto es como una versión tridimensional del principio de incertidumbre.

$$(\Delta x \Delta p_x) (\Delta y \Delta p_y) (\Delta z \Delta p_z) = \Delta V (\Delta p)^3 \sim \hbar^3$$ Esta relación te dice que las partículas se pueden empaquetar muy juntas, pero si lo están, entonces deben tener momentos muy diferentes. Esta amplia gama de momentos es lo que conduce a la presión de degeneración.

El caso extremo se conoce como degeneración completa y es una buena aproximación para los gases de fermión ideales a muy baja temperatura o muy alta densidad. En este caso, todos los estados de impulso se llenan por completo hasta algo llamado energía de Fermi y no se ocupan estados de energía superiores en absoluto. Este gas ejerce una presión de degeneración que es independiente de la temperatura .

El resto son las Matemáticas de calcular: (i) la densidad de estados cuánticos; (ii) cuando la degeneración cobra importancia; (iii) qué presión ejerce un gas degenerado utilizando la teoría cinética. Resulta que las estrellas enanas blancas están sustentadas casi en su totalidad por la presión de degeneración de los electrones a densidades de$10^{9}-10^{11}$kg/m3$^{3}$y la aproximación a la degeneración completa es muy buena, aunque sus temperaturas internas pueden alcanzar$10^{7}$K. En el extremo superior de este rango, los electrones en la Enana Blanca son relativistas. (Vea este applet de Geogebra que creé para ver cómo la ocupación de los estados cuánticos varía con la densidad y la temperatura en una enana blanca). Debido a que los neutrones son mucho más masivos que los electrones, no se degeneran hasta densidades mucho más altas (que las matemáticas muestran que es aproximadamente el cubo de la masa del fermión). Las estrellas de neutrones están respaldadas en parte por la presión de degeneración de neutrones a densidades de$10^{17}-10^{18}$kg/m3$^{3}$.

La fuerza que asociamos con el principio de exclusión de Pauli no es una fuerza fundamental, conectada con las cuatro interacciones fundamentales, sino una fuerza entrópica , consecuencia de las limitaciones que el principio impone a las funciones de onda permitidas.

Una declaración más general del principio establece que la función de onda total de un sistema de dos (o más) fermiones idénticos es antisimétrica bajo el intercambio de dos partículas. Entonces, si dos átomos, que llevan electrones con el mismo espín, se acercan, la parte espacial de la función de onda tiene que ser antisimétrica. Como sabes, la distribución de probabilidad de la posición del electrón es el cuadrado de la amplitud de la función de onda y así para un electrón con una función de onda antisimétrica evitará el espacio entre los átomos. Este fenómeno está relacionado con la interacción de intercambio

Debido a esto, el espacio de fase de los electrones en un sólido de alta densidad estará restringido, una restricción que percibimos a escala macroscópica como una "fuerza".