¿Cómo calculo la dilatación del tiempo en los satélites GPS debido a la masa de la Tierra?

Encontré esta respuesta que da como fórmula

T 2 = T 0 1 − 2 GRAMO METRO C 2 R

eso debería resultar en el tiempo T 2 pasó por un satélite GPS mientras T 0 segundos pasan en el centro de la tierra. Asumo lo siguiente:

  • GRAMO ≈ 6.674 ⋅ 10 − 11 norte ⋅ metro 2 kg 2 es la constante gravitatoria
  • METRO = 5.97237 ⋅ 10 24 kg es la masa de la tierra
  • C = 299792458 EM es la velocidad de la luz,
  • R = 20180 kilómetros + 6378 kilómetros es la distancia del satélite GPS al centro de masa de la Tierra.

Entonces obtengo:

t Δ = T 2 − T 0 = ( 1 1 − 2 GRAMO METRO C 2 R − 1 ) ⋅ T 0 ≈ ( 1 0.9999999996660677 − 1 ) ⋅ 86400 s ≈ 14.4 m s

Si bien está en el mismo estadio, sigue siendo bastante diferente del 45 m s proporcionado en la respuesta vinculada. ¿Dónde está el error?

secuencia de comandos de Python

T0 = 24 * 60 * 60
G = 6.673e-11
M = 5.97237e+24
c = 299792458
R = 26558.16
print((1/(1 - 2 * G * M / (c**2 * R * 10**3))**0.5 - 1 ) * T0)

Respuestas (1)

Las expresiones en la respuesta citada son bastante engañosas (dudo en decir mal, pero bueno). Estas son dilataciones del tiempo con respecto al espacio plano , es decir, con respecto a un observador en el infinito que no se mueve con respecto a los objetos en el campo gravitatorio de la Tierra. Lo que realmente necesita son las dilataciones con respecto a un observador en la superficie porque esos son los relojes que está comparando, no un reloj hipotético en el infinito.

[Me disculpo de antemano por las convenciones de signos y los nombres realmente casuales para las cosas a continuación: solo estoy improvisando, mal. Lo siento.]

Entonces, si asumimos que la Tierra no está girando (porque no quiero molestarme con el efecto relativista especial debido a eso, además de que soy perezoso y es muy pequeño), los relojes en la superficie se retrasarán con con respecto a los relojes lejanos, y podemos calcular esa tasa (estoy usando r para tarifas)

r mi = 1 1 − 2 GRAMO METRO C 2 R mi

Dónde R mi es el radio de la Tierra.

Conectando números obtenemos

r mi ≈ 1 + 6.961 × 10 − 10

Así es como los relojes en la superficie se atrasan en comparación con los relojes 'estacionarios' en el infinito.

Para el satélite, la corrección gravitacional (nuevamente, con respecto a los relojes en el infinito) es

r S ≈ 1 + 1.670 × 10 − 10

Entonces, la diferencia GR entre la tasa en la superficie y la tasa en el satélite es

r S − r mi ≈ − 5.291 × 10 − 10

Lo que significa que el satélite corre más rápido que nosotros. Pero luego necesitamos corregir eso por el factor de relatividad especial que es (usando ρ porque necesito alguna variable nueva ya que he elegido nombres terribles)

ρ S = 1 1 − v 2 C 2 ≈ 1 + 8.352 × 10 − 11

Y esto es en la dirección opuesta (el satélite es lento en comparación con nosotros), por lo que la diferencia total de tasas es

r S − R mi + ρ S − 1 ≈ − 4.456 × 10 − 10

y multiplicando por 86400 s para obtener una diferencia diaria, obtenemos

− 38.5 m s día

Lo cual, creo, es correcto.

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