Cómo calcular la resistencia total de este circuito eléctrico

Establecer nodo$V_6=0\:\textrm{V}$, para comenzar. (Es conveniente y puede hacer esto exactamente una vez; para cualquier nodo que desee). También tenga en cuenta que$V_1=V_2$, por lo que cuando busque bordes, deberá encontrar todos los bordes que emanan de todos esos "súper" nodos compartidos. (Entonces$V_2$no aparecerá a continuación). También noté que su ejemplo más pequeño tiene un "2" como valor para un borde, cuando creo que antes dijo que solo 0, 1 o$\infty$era posible Sin embargo, viviré con eso.

Entonces, el resumen aquí es: (1) que los nodos conectados por 0 son el mismo nodo y debe encontrar todos los bordes que emanan del mismo nodo al configurar las ecuaciones; y, (2) que bordea con$\infty$puede ser ignorado; y (3) las fracciones con el nodo especial que usted designe como 0 en el numerador se pueden eliminar.

Tenga en cuenta que$V_5$es, en efecto, un vértice aislado. Por lo tanto, no podrá calcular un voltaje para él. Eso debería estar bien. Además, haces que tenga un vértice de hoja (no sabría cómo lidiar con hacer tu gráfico). El voltaje allí será desconocido si el borde es$\infty$y será igual al voltaje en el nodo conectado, de lo contrario. Probablemente lo igualaría, en tales casos, y terminaría con eso.

Finalmente, no voy a otro con el$\Omega$símbolo (puede asumirlo, si lo desea). En su lugar, usaré la notación de borde de$R_{23}$, por ejemplo, para representar la resistencia de borde indicada. Si se comparte un nodo, usaré$V_{12}$, por ejemplo, para indicar ese supernodo. Tu ejemplo de conjunto de ecuaciones es:

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$$\begin{align*} \frac{V_{12}}{R_{13}}+\frac{V_{12}}{R_{23}} + \frac{V_{12}}{R_{24}} &= \frac{V_3}{R_{13}} + \frac{V_3}{R_{23}} + \frac{V_4}{R_{24}}\\\\ \frac{V_3}{R_{13}}+\frac{V_3}{R_{23}} + \frac{V_3}{R_{34}} &= \frac{V_{12}}{R_{13}} + \frac{V_{12}}{R_{23}} + \frac{V_4}{R_{34}} \\ \\ \frac{V_4}{R_{24}}+\frac{V_4}{R_{34}} + \frac{V_4}{R_{46}} &= \frac{V_{12}}{R_{24}} + \frac{V_3}{R_{34}} \end{align*}$$

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Lo anterior se puede convertir en:

$$\begin{align*} V_{12}\cdot\frac{1}{R_{13} \vert\vert R_{23} \vert\vert R_{24}} + V_3\cdot\frac{-1}{R_{13}\vert\vert R_{23}} + V_4\cdot\frac{-1}{R_{24}} &= 0\\\\ V_{12}\cdot\frac{-1}{R_{13}\vert\vert R_{23}} + V_3\cdot\frac{1}{R_{13}\vert\vert R_{23}\vert\vert R_{34}}+V_4\cdot\frac{-1}{R_{34}} &= 0 \\ \\ V_{12}\cdot\frac{-1}{R_{24}} + V_3\cdot\frac{-1}{R_{34}} + V_4\cdot\frac{1}{R_{24}\vert\vert R_{34}\vert\vert R_{46}} &= 0 \end{align*}$$

De lo anterior, las simetrías ahora también deberían ser obvias. (Observe las constantes y sus posiciones). La diagonal principal tiene valores únicos, pero el resto tiene valores que aparecen dos veces en posiciones simétricas fáciles de notar.

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Pero no necesitas la primera ecuación, ya que sabes el valor de$V_{12}$. Así que todo se reduce a solo las dos ecuaciones inferiores convertidas a forma de matriz:

$$\begin{align*} V_3\cdot\frac{1}{R_{13}\vert\vert R_{23}\vert\vert R_{34}}+V_4\cdot\frac{-1}{R_{34}} &= V_{12}\cdot\frac{1}{R_{13}\vert\vert R_{23}} \\ \\ V_3\cdot\frac{-1}{R_{34}} + V_4\cdot\frac{1}{R_{24}\vert\vert R_{34}\vert\vert R_{46}} &= V_{12}\cdot\frac{1}{R_{24}} \end{align*}$$

Lo anterior se resuelve en su caso como$V_3=9\frac{1}{6}\:\textrm{V}$y$V_4=5\frac{5}{6}\:\textrm{V}$.

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Resuelto para los voltajes de los nodos, puede calcular la corriente simplemente examinando todos los bordes que salen de su nodo 0 (si lo elige como lo hice yo). Solo hay un borde allí, a saber$R_{46}$, por lo que la resistencia total aquí es simplemente$R_{total}=\frac{V_{total}}{I_{total}}=\frac{V_{12}}{\left[\frac{V_4}{R_{46}}\right]}=R_{46}\cdot\frac{V_{12}}{V_4}$.

Eso funciona para$1\frac{5}{7}\:\Omega$.

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Debería poder generalizar lo anterior, ya que casi ya está cerca de ser automático.

Creo que hay una forma más sistemática de resolver circuitos, por ejemplo, puede formalizar una forma de escribir la lista de red de su circuito y luego implementar [por ejemplo] el algoritmo MNA para resolver todo el circuito por usted, y luego puede obtener la resistencia equivalente del circuito o cualquier otro parámetro de interés. Encontré una biblioteca de python llamada ahkab que implementa el algoritmo de análisis nodal modificado. en caso de que quisiera implementarlo, es posible que desee verificar esto

He escrito un pequeño script que lee la lista de red de estos nodos de circuito hexagonal y hace el cálculo de la resistencia equivalente.

El formato de la lista de red se parece a esto [puede crear su propio formato]

v 1 6 10

1 1 3

0 1 2

1 2 3

1 2 4

2 3 4

1 4 6

end

la primera línea indica que la fuente de voltaje está conectada entre el nodo 1y 6mientras que todas las demás líneas indican el valor de las resistencias y dónde están conectadas <Resistor value> <Node1> <Node2>y endpara terminar de leer la lista de red

Guión en python 3

import ahkab
ckt=ahkab.Circuit("Math_Max circuit")
nodes=[]
gnd=0
rCount=0
def node_replace(a,b):
    #A function for replacing 0 resistive path between nodes        
    for i in range(len(nodes)):
        if(nodes[i][1]==a):
            nodes[i][1]=b
        if(nodes[i][2]==a):
            nodes[i][2]=b

while(True):
    nlst=input().split()
    if(nlst[0]=='end'): break
    if(nlst[0]=='v'):
        gnd=int(nlst[2])
        ckt.add_vsource(nlst[0],nlst[1],ckt.gnd,dc_value=int(nlst[3]))
    else:
        nodes.append([int(nlst[0]),nlst[1],nlst[2]])

for i in range(len(nodes)):
    if(nodes[i][0]==0):
        node_replace(nodes[i][2],nodes[i][1])

for i in range(len(nodes)):
    if(nodes[i][0]!=0):
        gndNode=nodes[i][2]
        if(int(nodes[i][2])==gnd):
            gndNode=ckt.gnd
        ckt.add_resistor('r'+str(rCount),nodes[i][1],gndNode,value=nodes[i][0])
        rCount=rCount+1

results=ahkab.run(ckt, ahkab.new_op())['op']
print("TOTAL CURRENT: ",results['I(V)'][0][0])
print("Equivalent resistance: ",10/abs(results['I(V)'][0][0]))

Este fue el resultado

El código funciona evaluando la corriente total usando el algoritmo MNA y luego dividiendo source voltage / total currentpara obtener la resistencia equivalente.