¿Cómo aproximar la distancia a la que el disco delgado alcanza su punto máximo a lo largo de un LOS dado desde la Tierra para una coordenada galáctica dada por 1 grado cuadrado?

La densidad de estrellas cae exponencialmente desde el centro de la galaxia y se puede aproximar de la siguiente manera usando un sistema de coordenadas cilíndricas:

ρ ( R , z ) = ρ 0 Exp ⁡ − R h R   Exp ⁡ − | z | h z

captura de pantalla

La longitud y la altura de la escala radial del disco delgado son ~ 3000 pc y ~ 200 pc respectivamente. Por el momento, rho_0 solo se tomará como 1. Observamos en un l y b dados de 90 y 15 respectivamente usando el sistema de coordenadas galácticas (solo mire l y b por ahora, el resto son anotaciones que agregué que describiré en breve ). El sistema de coordenadas galácticas utiliza coordenadas esféricas:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Queremos saber dónde la densidad de estrellas alcanza su punto máximo a lo largo de LOS (desde la Tierra) dados por 1 grado cuadrado en un l y b dados. Hay 41253 grados cuadrados en todo el cielo, por lo que 1/41253 será la fracción por la que queremos multiplicar la ecuación de densidad. Sin embargo, también debemos considerar cómo cambia el elemento de volumen según la distancia a lo largo de la LOS dada, por lo que también debemos multiplicar rho y 1/41253 por este cambio de volumen. Este elemento de volumen puede ser representado por 4 π r 2 d r (el área de la superficie de la esfera y el pequeño cambio en la distancia a lo largo del LOS). Casi hemos terminado, pero necesitamos una forma de transformar entre sistemas de coordenadas relacionando las coordenadas galácticas con la distancia r y R (como se ve en el diagrama de arriba). Matemáticamente, se relacionan de la siguiente manera (Ec. 3 en ¿ Dónde se detiene el disco y comienza el halo? Cinemática en un campo de rotación Morrison, Flynn y Freeman 1990 Ast. J. 100 (4) 1191-1222):

r 2 = R ☉ 2 + R 2 − 2 R R ☉ porque ⁡ b porque ⁡ yo

captura de pantalla

Entonces, para una r dada (distancia de la estrella o LOS al sol), l y b, podemos encontrar R (la distancia del GC a la estrella o LOS). Esto está en coordenadas cilíndricas, por lo que necesitamos usar cos(b)R y sin(b)R para encontrar R y z en la ecuación de densidad anterior (observe que estas son r diferentes). El elemento de volumen debe ser LOS de la Tierra, lo que corresponde es la R en el diagrama y la ecuación del papel (para los l, b y r dados). Poniendo todo esto junto, tengo el siguiente código. Por favor, hágame saber si este intento parece razonable, o si no, en qué me equivoqué.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

C=8500 #Distance from center of galaxy to sun (R_sun_

#Galactic Coordinates
b=np.deg2rad(15) #above plane
l=np.deg2rad(90) 

#Scale heights for the thin disk
h_R=3000
h_z=200

nsqdeg_in_sky=41253 #square deg in whole sky


#R: Distance from star to sun
R=np.arange(0,15000,1)

#distance from star to G.C.
#r: distance from star to G.C. kpc
r=np.sqrt(C**2+R**2-2*R*C*np.cos(b)*np.cos(l))
print(r)

#Spherical Galactic Coordinates to cylindrical coordinates
#z component of R
R_z=np.sin(b)*r
#r component of R
R_r=np.cos(b)*r


#density equation describing thin disk
rho_thin=np.e**(-R_r/h_R)*np.e**(-np.abs(R_z)/h_z)

#desnity equation combining volume element and portion of sky
N_thin = (1./nsqdeg_in_sky)*(4*np.pi)*R*R*rho_thin

plt.title("Number of stars per 1 square degree")
plt.plot(R,N_thin,color='blue',label='thin')
plt.legend(loc='best')
plt.xlabel(r'$distance$ [pc]')
plt.ylabel(r'$N_\ast$ [pc$^{-1}$]')

edite para agregar la trama para l y b dados arriba:ingrese la descripción de la imagen aquí

Convertí las capturas de pantalla de las ecuaciones a MathJax y realicé algunos otros cambios de formato. Siéntase libre de editar más.
Esta gráfica no puede ser lo que busca si la estrella tiene una gran elevación sobre el disco, ya que la densidad inicial cerca del sol es casi máxima para este R , decreciendo con z sobre el disco. Dada la disminución monótona de la densidad con R y z el máximo a lo largo de un rayo será esencialmente el punto más cercano al centro.
@Anders Sandberg Estás viendo más estrellas en tu FOV a medida que miras debido al elemento de volumen. Esa es una parte importante a considerar. No es sólo una función de la densidad.
Solo nos interesa saber dónde alcanza su punto máximo la contribución de las estrellas del disco delgado.

Respuestas (1)

Si tienes un rayo desde un punto de origen X 0 con dirección unitaria | v | = 1 , X ( s ) = [ X ( s ) , y ( s ) , z ( s ) ] = X 0 + v s y mira la densidad por la distancia ρ ( s ) = ρ 0 mi − R ( X ) / h R mi − z ( X ) / h z s 2 la derivada es ρ ′ ( s ) = ρ 0 { [ − mi − R ( X ) / h R R ′ ( X ) / h R ] mi − z ( X ) / h z s 2 + [ − mi − z ( X ) / h z z ′ ( X ) / h z ] mi − R ( X ) / h R s 2 + [ 2 s ] mi − R ( X ) / h R mi − z ( X ) / h z } = ρ ( s ) { [ − R ′ ( X ) / h R ] + [ − z ′ ( X ) / h z ] + [ 2 s ] / s 2 } .

Ahora, R ′ ( s ) = ( X ( s ) v X + y ( s ) v y ) / R ( s ) y z ′ ( s ) = v z por lo que el criterio para un máximo o mínimo es 0 = − ( X ( s ) v X + y ( s ) v y ) / h R R ( s ) − v z / h z + 2 / s o

2 s = [ X 0 v X + y 0 v y ] + [ v X 2 + v y 2 ] s h R ( X 0 + v X s ) 2 + ( y 0 + v y s ) 2 + v z h z

No veo cómo simplificarlo más. Creo que el enfoque correcto aquí es solo hacer una solución numérica usando la búsqueda de la sección dorada en lugar de hacer mucho álgebra que de todos modos termina con un algoritmo de búsqueda de raíces. Hacer eso también le permite usar cualquier modelo de densidad estelar.

¿Cómo aproximar la distancia a la que el disco delgado alcanza su punto máximo a lo largo de un LOS dado desde la Tierra para una coordenada galáctica dada por 1 grado cuadrado?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v