¿Cómo analizar rigurosamente las disonancias de una cuarta perfecta y una quinta perfecta tocadas en un monocorde?

Hay un curso sobre este tema en Ohio State, y tienen una página que resume las principales teorías, con referencias a la literatura primaria. Algunos aspectos de esto están cableados de manera que se relacionan directamente con el tipo de física del que estás hablando, mientras que otros son una cuestión de cultura y entrenamiento. Hice un video educativo que brinda una presentación simple de lo que los materiales del estado de Ohio denominan modelo tonotópico, y aquí brindan una descripción detallada de ese modelo .

En el modelo tonotópico, la disonancia se produce cuando dos armónicos difieren en frecuencia en más del 1 % y menos del 10 %. El primer artículo de Kameoka y Kuriyagawa proporciona una fórmula que construyeron para convertir esto en una medida numérica de disonancia, con parámetros ajustados a experimentos con sujetos que no tenían formación musical, pero básicamente lo que importa es si tienes armónicos relativamente fuertes que se encuentran dentro. este rango crítico de aproximadamente 1-10%. No sé mucho sobre la fisiología, pero creo que esto se explica por la estructura de la cóclea, y no por los latidos, como supusieron originalmente algunas personas (por ejemplo, ¿tal vez Helmholtz en el siglo XIX?).

Según esta definición, un tono en realidad puede ser disonante consigo mismo, ya que, por ejemplo, los armónicos 13 y 14 diferirán en frecuencia en un 8%. Sin embargo, esos armónicos altos suelen ser bastante débiles y, por lo tanto, no causan una fuerte sensación de disonancia.

En su ejemplo, en realidad es más fácil analizar una octava más una quinta perfecta en lugar de solo una quinta. Una octava más una quinta es en realidad equivalente a una sola función periódica con la frecuencia de la nota más baja, porque los armónicos de la quinta son exactamente iguales a un subconjunto de las frecuencias en los sobretonos de la raíz. Por lo tanto, podría tener una pequeña cantidad de disonancia, pero solo por las mismas razones por las que una sola nota puede tener una pequeña cantidad de disonancia, como se describe anteriormente. Una quinta simple también podría tener una pequeña cantidad de disonancia, pero creo que también sería una cantidad muy pequeña, ya que la mayoría de los armónicos fuertes de baja frecuencia son exactamente iguales o bastante separados.

En un cuarto de temperamento perfecto, tenemos fundamentos$f$y$g=(4/3)f$. Subiendo en la serie de armónicos, lo que generalmente significaría ir hacia armónicos cada vez más débiles, los primeros choques que se encuentran en el rango de 1-10% son$5f$con$4g$(alrededor de un 7% de diferencia en la frecuencia) y$7f$con$5g$(como 5%). Estos están bastante arriba en la serie de armónicos, por lo que es poco probable que causen una cantidad significativa de disonancia. Si está interesado en hacer un cálculo real usando el modelo K&K, la gente de Ohio State tiene un programa de código abierto disponible para eso.

Probablemente podría cuantificar esto más mirando los datos experimentales de Kameoka y Kuriyagawa o su modelo, pero creo que la respuesta básica es que para un oído inexperto, un cuarto perfecto no esmás disonante que una quinta perfecta. Nos enseñan que lo es, pero como muchas de las cosas que aprendemos en teoría musical, este hecho en particular solo se aplica a la cultura de la música occidental, y es algo que se aprende, no es algo innato. Básicamente, los músicos tienden a considerar una cuarta como disonante debido a la forma en que funciona en la voz principal. Por lo general, si desea un sonido de una buena consonancia sólida, como al final de una pieza, espera escucharlo en la posición raíz, no en la segunda inversión. En la mayoría de la música clásica, si escuchas una voz como GCE (que va de abajo hacia arriba), en realidad no es una tríada C, funciona como una tríada G con dos suspensiones. La C se moverá hacia abajo a una B, y la E a una D, entonces tendrás la tríada GB D.

Accidentalmente, he estado interesado en la física musical durante algunos años, y he estado interesado en la neurociencia durante otros pocos años y contando, por lo que estoy en una posición perfecta para responder a su pregunta. Creo que tu simple análisis es correcto. Hago los siguientes comentarios sobre mi cabeza de muchos años de lectura intensa de libros y artículos científicos, pero es posible que no se alcancen fácilmente buenas referencias.

Aquí hay algunos hechos. Diferentes tonos estimulan diferentes grupos de neuronas en nuestro cerebro (se han encontrado "campos" de tonos en las superficies cerebrales de algunos animales). Las neuronas en nuestro cerebro asocian características que observan cuando estas características ocurren juntas todo el tiempo. La no linealidad ocurre en la transmisión del sonido en nuestros oídos, por lo que los sobretonos se producen en los oídos y luego las neuronas los observan. Los grupos de neuronas en un nivel más alto que las neuronas del campo tonal asocian un tono (f) a sus sobretonos (2f, 3f, 4f, ...) de modo que se excitan cuando cualquiera de los tonos base f y sus sobretonos 2f, 3f , 4f, ... se escucha. Por ejemplo, algunos grupos de neuronas pueden ser excitados por tonos cercanos a f=440 Hz (o 2f=880 Hz, 3f=1320 Hz, ... etc) Otros grupos de neuronas pueden ser excitados por tonos cercanos a f=660 Hz , o 2f=1320 Hz, ... etc.).

Aquí hay algunas especulaciones razonables. A las neuronas no les gusta que las sobreestimulen todas juntas (piense en la restricción del consumo de energía, la restricción del consumo de oxígeno, la restricción del transporte de desechos...). Es por eso que los ruidos (todos los tonos suenan juntos) molestan a las personas. Por otro lado, las neuronas no están contentas con los estímulos aburridos (esto puede estar relacionado con el aprendizaje: los animales son curiosos para poder aprender y sobrevivir). Es por eso que todas las músicas que disfrutamos tienen todo tipo de regularidades con algunas sorpresas aquí y allá.

Ahora estamos listos para responder por qué la quinta perfecta es más "consonante" que la cuarta perfecta. Hagamos una lista de los tonos y sobretonos de la nota base y la quinta nota perfecta (los sobretonos compartidos están en negrita),

nota base: f, 2f, 3f , 4f, 5f, 6f , 7f, 8f, 9f , 10f, 11f, 12f ...

quinto perfecto:$\frac{3}{2}$f, 3f ,$\frac{9}{2}$f, 6f ,$\frac{15}{2}$f, 9f ,$\frac{21}{2}$f, 12f ...

También vamos a enumerar los de la nota base y la cuarta nota perfecta;

nota base: f, 2f, 3f, 4f , 5f, 6f, 7f, 8f , 9f, 10f, 11f, 12f ...

cuarto perfecto:$\frac{4}{3}$F,$\frac{8}{3}$f, 4f ,$\frac{16}{3}$F,$\frac{20}{3}$f, 8f ,$\frac{21}{3}$F,$\frac{32}{3}$f, 12f ...

La observación es que la quinta perfecta comparte una mayor porción de armónicos con la nota base que la cuarta perfecta. Deducimos de la biología del cerebro mencionada anteriormente que el cerebro escucha tonos "más limpios" cuando se toca la quinta perfecta con la nota base que cuando se toca la cuarta perfecta con la nota base. Por supuesto, por un razonamiento similar, las notas de octava son más "consonantes" que la quinta perfecta. Creo que tu pregunta está respondida.

Ahora hablemos de la fluctuación de amplitud. La fluctuación de amplitud ocurre cuando sus notas no están perfectamente afinadas, por lo que se produce una interferencia. Por ejemplo, si dos cuerdas de la misma nota no están perfectamente afinadas y se tocan juntas,

El oído humano no es un instrumento calibrado con precisión y ningún instrumento tiene armónicos "exactos". Las cuerdas de piano, por ejemplo, tienen un ancho finito, esto cambia los armónicos. Al igual que la forma de la trompeta, etc. Lo que genera disonancia es probablemente en su mayoría "golpes" entre armónicos y/o notas (o armónicos) que tienen una frecuencia lo suficientemente cercana como para que podamos notar que están muy cerca. Hay mucho trabajo en esto, que (desafortunadamente) no encuentro de inmediato