Coeficiente de restitución

Tu definición es incorrecta. El coeficiente de restitución,$e$, no está definido como usted indicó. Dejar$u_1$,$u_2$,$v_1$, y$v_2$ser las velocidades inicial y final de los objetos$a$y$b$respectivamente.

La forma de recordar correctamente el coeficiente de restitución se define como la velocidad de separación dividida por la velocidad de aproximación. Alternativamente, puede recordar que es el negativo de las velocidades relativas.

$$e=\frac {v_2 - v_1}{u_1 -u_2}=-\frac {v_2 - v_1}{u_2 -u_1}$$

Es muy importante tener en cuenta que no puede escribirlos como vectores ($\vec u_1$etcétera). Como señaló bemjanim en los comentarios, no puedes dividir vectores. En cambio, las velocidades que usamos aquí son los componentes de las velocidades reales a lo largo de la línea de fuerza, o los componentes de la velocidad frontal de la colisión. Por supuesto, si está considerando una colisión entre objetos puntuales en$ℝ^1$, todas las colisiones son frontales.

Es útil tener en cuenta qué significan realmente la velocidad de separación y la velocidad de aproximación, ya que estos términos pueden ser un poco confusos. Marque esta pregunta para mayor claridad.

Como nota al margen, se debe tener cuidado al usar Wikipedia como fuente de fórmulas científicas. Además, si se desplaza hacia abajo en la misma página, verá que la derivación de esta fórmula se realiza igualando las energías cinéticas para una colisión elástica. Intenta probarte esto a ti mismo haciendo la derivación.

Parece haber cierta confusión aquí sobre cómo obtener velocidades relativas a partir de cantidades vectoriales.

Necesitas proyectar los vectores de velocidad.$\vec{v}_a$,$\vec{v}_b$a lo largo de la dirección normal de contacto$\vec{n}$para llegar a la ley de los contactos.

$$\left( \vec{n} \cdot \vec{v}_a - \vec{n} \cdot \vec{v}_b \right) = -\epsilon \left(\vec{n} \cdot \vec{u}_a - \vec{n} \cdot \vec{u}_b \right) \tag{1}$$

_{Aquí$\vec{n}$debe ser un vector unitario .}

dónde$\epsilon$es el coeficiente de restitución. Observe el signo negativo que está ahí para indicar el rebote que ocurre, y que la secuencia a menos b ocurre igual en ambos lados de la ecuación.

La ecuación (1) a menudo también se establece como

$$\boxed{ \epsilon = - \frac{ \vec{n} \cdot \left( \vec{v}_a - \vec{v}_b \right) }{ \vec{n} \cdot \left( \vec{u}_a - \vec{u}_b \right) } = - \frac{v_{\rm rel}}{u_{\rm rel}} } \tag{2}$$

Entonces, si es consistente con sus convenciones (sistema de coordenadas) y mantiene el signo menos allí, la física funciona correctamente, independientemente de qué velocidad tenga la mayor magnitud.

Al leer el formulario de la página de Wikipedia Coeficiente de restitución , la cantidad que está buscando es la relación de los módulos de la velocidad relativa inicial y la velocidad relativa final, por lo que usa su notación

$$e = \frac{|\vec{v}_a-\vec{v}_b|}{|\vec{u}_a-\vec{u}_b|}$$

Por lo tanto, el coeficiente de restitución es siempre una cantidad adimensional positiva, en particular

• $e=0$para una colisión perfectamente inelástica ,
• $e=1$para una colisión perfectamente elástica ,
• $0<e<1$para la colisión inelástica del mundo real,
• $e>1$si se libera algo de energía (química) en la colisión, comienza una explosión.

Supongo que la fórmula escrita por usted debe ser corregida,

$$\boxed{Coefficient of restitution = -\displaystyle\frac {Relative \ velocity \ after\ collision}{Relative \ velocity\ before\ collision}}$$

Incluso en la fórmula dada en wikipedia, esta fórmula se indica con un signo negativo.