Circuito RC y filtro Bessel para encontrar la frecuencia de corte

Question

Circuito RC y filtro Bessel para encontrar la frecuencia de corte

Klopq

Tengo el siguiente circuito de filtro y quiero saber si mi análisis es correcto.

esquemático

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Usando la función de transferencia de un circuito RC en serie :

\begin{matrix} (1) & V_{C_{1}} (s) = \frac{1}{1 + R \cdot C_{1} \cdot s} \cdot V_{en} (s) \end{matrix}

$\text{V}_{\text{C}_1}\left(\text{s}\right)=\frac{1}{1+\text{R}\cdot\text{C}_1\cdot\text{s}}\cdot\text{V}_\text{in}\left(\text{s}\right)\tag1$

Y un filtro Sallen-key :

V_{afuera} (s) = \frac{\frac{1}{s \cdot C_{3}} \cdot \frac{1}{s \cdot C_{2}}}{R \cdot R + \frac{1}{s \cdot C_{3}} \cdot (R + R) + \frac{1}{s \cdot C_{3}} \cdot \frac{1}{s \cdot C_{2}}} \cdot V_{C_{1}} (s) =

$\text{V}_\text{out}\left(\text{s}\right)=\frac{\frac{1}{\text{s}\cdot\text{C}_3}\cdot\frac{1}{\text{s}\cdot\text{C}_2}}{\text{R}\cdot\text{R}+\frac{1}{\text{s}\cdot\text{C}_3}\cdot\left(\text{R}+\text{R}\right)+\frac{1}{\text{s}\cdot\text{C}_3}\cdot\frac{1}{\text{s}\cdot\text{C}_2}}\cdot\text{V}_{\text{C}_1}\left(\text{s}\right)=$

\begin{matrix} (2) & \frac{\frac{1}{s \cdot C_{3}} \cdot \frac{1}{s \cdot C_{2}}}{R \cdot R + \frac{1}{s \cdot C_{3}} \cdot (R + R) + \frac{1}{s \cdot C_{3}} \cdot \frac{1}{s \cdot C_{2}}} \cdot \frac{1}{1 + R \cdot C_{1} \cdot s} \cdot V_{en} (s) \end{matrix}

$\frac{\frac{1}{\text{s}\cdot\text{C}_3}\cdot\frac{1}{\text{s}\cdot\text{C}_2}}{\text{R}\cdot\text{R}+\frac{1}{\text{s}\cdot\text{C}_3}\cdot\left(\text{R}+\text{R}\right)+\frac{1}{\text{s}\cdot\text{C}_3}\cdot\frac{1}{\text{s}\cdot\text{C}_2}}\cdot\frac{1}{1+\text{R}\cdot\text{C}_1\cdot\text{s}}\cdot\text{V}_\text{in}\left(\text{s}\right)\tag2$

Lo que también da:

\begin{matrix} (3) & H (s) := \frac{V_{afuera} (s)}{V_{en} (s)} = \frac{\frac{1}{s \cdot C_{3}} \cdot \frac{1}{s \cdot C_{2}}}{R^{2} + \frac{2}{s \cdot C_{3}} \cdot R + \frac{1}{s \cdot C_{3}} \cdot \frac{1}{s \cdot C_{2}}} \cdot \frac{1}{1 + R \cdot C_{1} \cdot s} \end{matrix}

$\mathscr{H}\left(\text{s}\right):=\frac{\text{V}_\text{out}\left(\text{s}\right)}{\text{V}_\text{in}\left(\text{s}\right)}=\frac{\frac{1}{\text{s}\cdot\text{C}_3}\cdot\frac{1}{\text{s}\cdot\text{C}_2}}{\text{R}^2+\frac{2}{\text{s}\cdot\text{C}_3}\cdot\text{R}+\frac{1}{\text{s}\cdot\text{C}_3}\cdot\frac{1}{\text{s}\cdot\text{C}_2}}\cdot\frac{1}{1+\text{R}\cdot\text{C}_1\cdot\text{s}}\tag3$

Ahora bien, para encontrar el $-3$ punto dB que necesito encontrar:

\begin{matrix} (4) & | H (ω j) | = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}

$\left|\mathscr{H}\left(\omega\text{j}\right)\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}\tag4$

¿Tengo razón en mi análisis?

En mi trabajo utilicé los siguientes valores:

\begin{matrix} (5) & R = 220000, C_{1} = 2.7 \cdot 10^{- 9}, C_{2} = 10^{- 9}, C_{3} = 150 \cdot 10^{- 12} \end{matrix}

$\text{R}=220000,\text{C}_1=2.7\cdot10^{-9},\text{C}_2=10^{-9},\text{C}_3=150\cdot10^{-12}\tag5$

Y usé:

\begin{matrix} (6) & s = ω j = 2 π F j \end{matrix}

$\text{s}=\omega\text{j}=2\pi\text{f}\text{j}\tag6$

Entonces, obtuve una frecuencia de corte de:

\begin{matrix} (7) & F_{C} \approx 200.196 Hz \end{matrix}

$\text{f}_{\space\text{c}}\approx200.196\space\text{Hz}\tag7$

Pero no puedo verificar eso, así que necesito saber si mi trabajo es correcto.

usuario_1818839

Podría ser mejor editar su otra pregunta en lugar de abrir un casi duplicado.

Klopq

@BrianDrummond La pregunta es diferente

LvW

Ya la primera ecuación es incorrecta. El voltaje a través de C1 depende de la siguiente red.

Respuestas (1)

Circuito RC y filtro Bessel para encontrar la frecuencia de corte

Podría ser mejor editar su otra pregunta en lugar de abrir un casi duplicado.
Ya la primera ecuación es incorrecta. El voltaje a través de C1 depende de la siguiente red.

Kint Verbal · Answer 1

No, esto no funciona de esta manera como lo señaló otro compañero en una publicación diferente a la tuya: la primera $RC$ La sección está cargada por la impedancia de entrada del filtro Sallen-Key, por lo que no puede descuidarla. Podría hacerlo si almacenara en búfer la primera red antes de controlar el segundo filtro. Otra opción sería comenzar a la izquierda por la estructura Sallen-Key y luego alimentar el $RC$ filtrar. Considerando un 0- $\Omega$ impedancia de salida para el amplificador operacional, entonces podría conectar en cascada (multiplicar) las funciones de transferencia.

He mostrado aquí sin escribir una sola línea de álgebra cómo puede determinar esta función de transferencia utilizando la técnica de circuitos analíticos rápidos descrita aquí . Considerando polos reales bien separados, la función de transferencia se puede aproximar como

y si trazas esta expresión, tienes

Editar : como lo subraya correctamente LvW, la disposición anterior no refleja una función de transferencia de Bessel sino una serie de 3 polos en cascada. La función de transferencia que describe esta red en realidad obedece a la siguiente expresión: $H(s)=\frac{1}{1+b_1s+b_2s^2+b_3s^3}$ en el cual

$b_1=R_1C_1+(R_1+R_2+R_3)C_2$

$b_2=C_2(C_1R_1(R_2+R_3)+C_3R_3(R_1+R_2))$

$b_3=C_1C_2C_3R_1R_2R_3$

La función de transferencia de un filtro Bessel de paso bajo de tercer orden normalizado a una frecuencia angular característica de 1 rad/s viene dada por $H(s)=\frac{1}{1+s+s^2\frac{6}{15}+\frac{s^3}{15}}$ . Esta expresión se puede refactorizar en un formato más amigable, ya que sus raíces comprenden 1 polo real y 2 polos complejos: $H(s)\approx\frac{1}{(1+0.43s)(1+0.57s+0.155s^2)}$

Supongamos que nos gustaría sintonizar este filtro a 1 kHz, luego debe escalar la fórmula de acuerdo con:

$H(s)=\frac{1}{1+s\frac{1}{k}+s^2\frac{0.4}{k^2}+s^3\frac{0.067}{k^3}}$

que es aproximadamente igual a:

$H(s)\approx\frac{1}{(1+\frac{0.43}{k}s)(1+\frac{0.57}{k}s+\frac{0.155}{k^2}s^2)}$

con $k=2\pi 1000=6.283\times 10^3$

Puedo trazar estas dos expresiones y dan respuestas dinámicas idénticas en magnitud y fase:

Ahora, debe determinar los valores de los componentes para que los coeficientes determinados por las combinaciones de componentes conduzcan a:

$b_1=159\;ms$ , $b_2=1.013\times 10^4\;µs^2$ y $b_3=2.688\times 10^{-13}s^3$

Este es un sistema de 3 ecuaciones/3 incógnitas si arreglas $C_1$ , $C_2$ y $C_3$ por ejemplo. Si usa la herramienta aquí , entonces tiene los siguientes valores de componentes para una frecuencia característica de 1 kHz:

$R_1=9.1\;k\Omega$ $R_2=91\;k\Omega$ $R_3=36\;k\Omega$ $C_1=6.8\;nF$ $C_2=680\;pF$ $C_3=1.8\;nF$

Si ahora traza la expresión que determiné aquí y que presenta los valores de los componentes anteriores frente a la respuesta de la función de transferencia de Bessel de tercer orden que hemos derivado, las gráficas son idénticas:

Si no me equivoco, la pregunta se refiere a una respuesta BESSEL. Sin embargo, el cálculo anterior da tres polos REALES - esta distribución de polos NO da un filtro BESSEL. En cambio, necesitamos un par de polos complejos además de un solo polo real.
Hola LvW, tienes toda la razón. Di la expresión sin procesar en la segunda publicación y aquí, en aras de la simplicidad, coloqué en cascada tres polos reales considerando los valores arbitrarios seleccionados para los componentes. Si dos polos son complejos, debe recurrir a otra forma de polinomio que conecte en cascada un polinomio de segundo orden con un polo real dominante (del primer $RC$ probablemente). Si los 3 polos son casi coincidentes, creo que ya no puedes factorizar la expresión en una forma amigable. Déjame saber lo que piensas.
Sí, por supuesto, no podemos factorizar los polos para una respuesta de Bessel en una "forma amistosa". En cambio, debemos aplicar el procedimiento clásico para el dimensionamiento basado en la función de transferencia de tercer orden real. Esto parece bastante complicado y se recomienda utilizar uno de los paquetes de programas de diseño de filtros.

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Klopq

usuario_1818839

Klopq

LvW

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