¿Capacidad de una sola placa cargada?

La respuesta de Tom es completamente correcta, pero quería agregarle algunos detalles.

Primero, ¿por qué falla tu lógica? La respuesta es que la fórmula familiar para la capacitancia de dos placas paralelas se basa en la aproximación de que el campo eléctrico entre las dos placas es completamente uniforme. En tal caso, tenemos$E = V/d$y$E = Q/\epsilon_0 A$; igualando las dos expresiones entre sí y resolviendo para$C = Q/V$produce la fórmula familiar para la capacitancia de un par de placas paralelas.

Sin embargo, si tomamos las dos placas y comenzamos a separarlas, en algún momento nuestras aproximaciones sobre el campo eléctrico fallarán; el campo eléctrico ya no será uniforme, y definitivamente no estará relacionado con la carga en las placas de la manera antes mencionada. Por lo general, esta aproximación realmente comenzará a fallar cuando$d$llega a ser una fracción significativa del tamaño de las placas; una vez que esto sucede, la fórmula de las placas paralelas es una mala aproximación. Para decirlo de otra manera, la fórmula familiar de capacitancia de placas paralelas se derivó asumiendo que$d \ll \sqrt{A}$, y por lo tanto no puedes tomar su límite como$d \to \infty$y todavía esperar que aguante.

Así que imagina mover los dos discos a una gran distancia de distancia. En algún momento, estarán lo suficientemente separados como para no "sentirse" más, y en ese momento cada placa actúa como un conductor cargado independiente sentado solo en el espacio. Pero aún habrá una diferencia de potencial entre cada conductor y el infinito, y en ese punto podemos definir una capacitancia de este conductor solitario y otro "electrodo en el infinito". Como normalmente definimos$V = 0$en el infinito, solo necesitamos calcular el potencial del conductor cuando lleva una carga$Q$, y tome la relación de$Q/V$de nuevo. Este es el proceso descrito por @tom en su respuesta.

Ahora, para un conductor de forma arbitraria, tendrá problemas para obtener un resultado exacto para$C$. @tom ha hecho la esfera, que es el resultado más simple. Sin embargo, ¡es posible hacer esto también para un disco conductor infinitesimalmente delgado! Para ello, vemos el disco como el límite de un elipsoide cuando uno de los ejes principales tiende a cero. La densidad de carga en la superficie de un elipsoide se puede encontrar en la Sección 5.02 de Electricidad estática y dinámica de Smythe ; los resultados también se citan en un problema al final del Capítulo 2 de Griffiths (4ª edición). Cuando tomamos el límite como uno de los ejes principales tiende a cero, el resultado es que la densidad de carga superficial es

Considere el caso de una esfera conductora sin contraelectrodo.

La capacitancia de la esfera conductora se puede encontrar con

y sabemos que a la distancia$r$desde el centro de la esfera el potencial$V$es dado por

siempre que$r$es mayor que el radio de la esfera. Ahora, si consideramos el potencial en la superficie y lo reemplazamos en la ecuación anterior, obtenemos una esfera conductora

sin contraelectrodo y ahora$r$es el radio de la esfera.

Ahora, la placa de la que está hablando no es una esfera, pero aún tendrá una expresión similar, pero más complicada, para la capacitancia.

Por lo tanto, cualquier conductor con una carga genera algún potencial incluso sin un contraelectrodo y podemos calcular la capacitancia con$Q/V$.

Ambas buenas respuestas. Tenga en cuenta que la Tierra tiene una autocapacitancia por los mismos argumentos. La Tierra lleva una carga neta y realmente tiene una capacitancia. Recuerda que la capacitancia se define en términos del trabajo que debes hacer para llevar una carga de una placa a la otra. Dos objetos cargados están involucrados. Incluso si las placas están separadas por una distancia casi infinita, aún tendrá que hacer algo de trabajo para, por ejemplo, mover una carga positiva de la placa negativa a la placa positiva. El campo eléctrico debido a las cargas positivas de la placa de destino producirá una fuerza de repulsión contra la que tendrás que trabajar para mover la carga de prueba. Esto después de todo lo que entendemos por diferencia de potencial. Es decir, el trabajo realizado para mover una unidad de carga entre dos puntos. Muy cerca de cualquiera de las placas cargadas, el campo eléctrico solo depende de la densidad de carga en esa parte de la placa y no depende directamente de la forma o ubicación de la segunda placa. La proximidad de la segunda placa puede afectar el valor de esta densidad de carga. En los condensadores de placas paralelas idealizados, el campo es uniforme entre las placas. Pero este campo local siempre está ahí en todas las geometrías y da como resultado una capacitancia finita. C=Q/V. Siempre puede calcular la autocapacitancia de cualquier cosa simplemente moviendo una segunda placa, roca o esfera al infinito y hacer el cálculo del trabajo. En los condensadores de placas paralelas idealizados, el campo es uniforme entre las placas. Pero este campo local siempre está ahí en todas las geometrías y da como resultado una capacitancia finita. C=Q/V. Siempre puede calcular la autocapacitancia de cualquier cosa simplemente moviendo una segunda placa, roca o esfera al infinito y hacer el cálculo del trabajo. En los condensadores de placas paralelas idealizados, el campo es uniforme entre las placas. Pero este campo local siempre está ahí en todas las geometrías y da como resultado una capacitancia finita. C=Q/V. Siempre puede calcular la autocapacitancia de cualquier cosa simplemente moviendo una segunda placa, roca o esfera al infinito y hacer el cálculo del trabajo.